Проведения работы по теме «Интерполирование кубическими сплайнами»
5
1
, 1, 2,..., .
3
i
i
i
c c
d
i
n
h
Приближение функций с помощью интерполяционного кубиче-
ского сплайна является сходящимся процессом: при неограниченном
увеличении числа узлов сетки соответствующая последовательность
сплайн-функций сходится к интерполируемой функции. Сформули-
руем соответствующую теорему для случая равномерной сетки.
Пусть
( )
h
s x
— интерполяционный кубический сплайн, постро-
енный для функции ( )
f x
на отрезке [ , ]
a b
с равноотстоящими узла-
ми, т. е.
(
)
(
),
h
s a ih f a ih
(
) ,
h b a n
0, 1,..., .
i
n
Необходимо,
чтобы на отрезке
[ , ]
a b
функция
( )
f x
имела непрерывные произ-
водные до четвертого порядка включительно:
(4)
( )
[ , ]
f x C a b
. Тогда
имеет место следующая теорема [1].
Теорема.
Для функции
(4)
( )
[ , ]
f x C a b
справедливы оценки
4
4
[ , ]
( )
( )
,
h
C a b
f x s x
M h
3
4
[ , ]
( )
( )
,
h
C a b
f x s x
M h
2
4
[ , ]
( )
( )
,
h
C a b
f x s x
M h
(4)
4
[ , ]
( )
,
C a b
M f
x
где
[ , ]
[ , ]
( )
max | ( )|
C a b
a b
g x
g x
— норма, введенная в линейном про-
странстве непрерывных функций на отрезке
[ , ],
a b
( ) [ , ].
g x C a b
Из этих оценок следует, что при
0
h
(т. е. при
n
) после-
довательности
( ), ( ), ( )
h
h
h
s x s x s x
сходятся соответственно к функци-
ям
( ), ( ), ( )
f x f x f x
.
Методика проведения лабораторной работы.
Для восстановле-
ния функции
( )
f x
с заданной точностью необходимо путем методи-
ческих расчетов подобрать шаг сетки.
Алгоритм методических расчетов состоит в следующем. Для оцен-
ки качества восстановления функции
( )
f x
с помощью сплайна необхо-
димо взять известную функцию, построить таблицу значений
(
)
i
f
f a ih
этой функции, заданной на отрезке [ , ],
a b
с шагом
(
)
h b a n
и построить интерполяционный сплайн. Для сравнения
значений
(
)
i
f
f a ih
и
i
s
необходимо выбрать
контрольные точки
,
в качестве которых можно взять середины частичных отрезков перво-
начального разбиения (например,
5
n
). Узловые точки в качестве кон-
трольных точек не могут быть использованы, поскольку по этим значе-
ниям строится сплайн.
Далее число разбиений увеличиваем на 5, строим сплайн и вы-
числяем значения сплайна в серединах новых частичных отрезков.
