Проведения работы по теме «Интерполирование кубическими сплайнами»
3
Из условия непрерывности в узлах сплайна, его первых и вторых
производных получаем
1
( )
( ),
1, 2,...,
1;
i
i
i
i
s x s x i
n
(3)
1
( )
( ),
1, 2,...,
1;
i
i
i
i
s x s x i
n
(4)
1
( )
( ),
1, 2,...,
1.
i
i
i
i
s x s x i
n
(5)
Кроме условий (3)–(5), которые должны выполняться во внут-
ренних узловых точках сетки (1), на концах отрезка
[ , ]
a b
также
должны выполняться дополнительные условия [3, 4]:
1 0
( ) 0, ( ) 0.
n n
s x
s x
(6)
Из (2) (см. рисунок) имеем
1
1
( )
,
1, 2,..., ,
i
i
i
i
s x
a f
i
n
и
1
1
( )
,
0, 1, 2,...,
1.
i
i
i
i
s x a f i
n
Отсюда и из (3) получаем
2
3
1
, 1, 2,..., .
i
i i
i i
i i
i
f
b h c h d h f i
n
(7)
Найдем первую и вторую производные функции (2):
2
1
1
( )
2 (
) 3 (
) ,
i
i
i
i
i
i
s x b c x x
d x x
1
1
( ) 2 6 (
),
[ , ],
1, 2,..., .
i
i
i
i
i
i
s x c d x x x x x i
n
Отсюда и из условий (4) и (5) следует
2
1
2 3
, 1, 2,...,
1,
i
i i
i i
i
b c h d h b i
n
(8)
1
2 6
2 ,
1, 2,...,
1.
i
i i
i
c d h c i
n
(9)
Дополнительные условия (6) приводят к соотношениям
1
0, 2 6
0.
n
n n
c
c d h
(10)
Формальное введение еще одного неизвестного
1
n
c
, которое при
этом будем считать равным нулю, позволяет из (9) и второго равен-
ства (10) получить выражения для определения коэффициентов
i
d
сплайна
1
, 1,..., .
3
i
i
i
i
c c
d
i
n
h
(11)
Из (7) следует
2
1
, 1,..., .
i
i
i
i i
i i
i
f
f
b
c h d h i
n
h
После подстановки
i
d
в последнее выражение получаем
