Проблемы и перспективы развития курса численных методов
9
Методы решения эллиптических уравнений. Метод установле-
ния. Пятиточечная схема решения уравнения Лапласа (Пуассона).
Прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебра-
ических уравнений (метод Гаусса, метод Гаусса с выбором главного
элемента, метод прогонки; метод Якоби, метод Гаусса — Зейделя,
метод переменных направлений).
Основы метода конечных элементов. Дискретизация задачи. Ко-
нечные элементы. Базисные функции. Сведение задачи к решению
системы линейных алгебраических уравнений.
2.2. Решение краевой задачи для стационарного одномерного
уравнения теплопроводности методом конечных элементов
Постановка задачи в дифференциальной форме. Элементы вариаци-
онного исчисления. Функционалы. Экстремум функционала. Уравнение
Эйлера. Вариационная постановка задачи. Метод Ритца. Проекционная
постановка задачи. Метод Галеркина. Конечные элементы и базисные
функции. Свойства базисных функций. Составление системы линейных
алгебраических уравнений. Вычисление интегралов.
2.3. Решение краевой задачи для стационарного двумерного урав-
нения теплопроводности методом конечных элементов
Постановка задачи в дифференциальной форме. Вариационная
постановка задачи в глобальной системе координат. Решение задачи
методом конечных элементов. Разбиение расчетной области на ко-
нечные элементы. Трехузловой треугольный конечный элемент. Вы-
бор базисных функций. Матрица базисных функций элемента. Век-
тор узловых значений неизвестной функции на конечном элементе.
Элементная матрица жесткости. Составление системы линейных ал-
гебраических уравнений при объединении элементных вкладов в
уравнения системы по узлам для стационарного двумерного уравне-
ния теплопроводности.
По этим же темам проводятся семинарские занятия и следующие
лабораторные работы.
Модуль 1. Основы теории разностных схем. Уравнения пара-
болического типа
Лабораторная работа № 1.
Численное решение уравнения пере-
носа методом конечных разностей.
Лабораторная работа № 2.
Решение системы линейных алгебраи-
ческих уравнений с трехдиагональной матрицей методом прогонки.
Лабораторная работа № 3.
Численное решение краевой задачи
для нестационарного одномерного уравнения теплопроводности ме-
тодом Кранка — Николсона.
Модуль 2. Уравнения эллиптического типа. Решение уравне-
ний математической физики методом конечных элементов
Лабораторная работа № 4.
Численное решение задачи Дирихле
для уравнения Пуассона разностным методом.
Лабораторная работа № 5.
Численное решение краевой задачи
для стационарного одномерного уравнения теплопроводности мето-
дом конечных элементов.
