А.А. Федотов, П.В. Храпов
4
четвертого семестра (рассмотрим идеальную для МГТУ им. Н.Э. Ба-
умана схему, методическая литература по этому курсу [1–9] . Реаль-
ный курс будет урезанием идеального). Весь курс разбивается на че-
тыре модуля.
МОДУЛЬ 1. Численные методы алгебры
1. Численное решение математических задач и особенности вы-
числений на ЭВМ. Источники и классификация погрешностей. По-
грешности чисел, векторов и функций, матриц. Погрешности при
выполнении арифметических операций. Устойчивость вычислитель-
ных методов и обусловленность математической задачи. Характери-
стика вычислительных методов по объему вычислений.
2. Вычислительные задачи линейной алгебры. Прямые методы
решения систем линейных алгебраических уравнений. Оценка точно-
сти полученного решения. Решение систем линейных алгебраических
уравнений методом Гаусса. Прямой ход метода Гаусса. Обратный
ход метода Гаусса. Метод Гаусса с выбором главного элемента. Вы-
числение определителя невырожденной матрицы. Решение систем
линейных алгебраических уравнений с помощью
LU
-разложения.
3. Решение систем специального вида. Метод квадратного корня
(метод Холецкого) решения систем линейных алгебраических урав-
нений с симметричной матрицей коэффициентов. Метод прогонки
для решения трехдиагональной системы линейных алгебраических
уравнений. Особенности алгоритма метода прогонки. Численный ме-
тод решения краевой задачи для линейного дифференциального
уравнения второго порядка с помощью метода прогонки.
4. Нормированные пространства, примеры. Норма матрицы.
Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений. Мера
обусловленности матрицы. Матрица Гильберта. Степенной метод.
Нахождение меры обусловленности симметричной матрицы А сте-
пенным методом.
5.
Решение систем нелинейных уравнений. Метод простых ите-
раций. Метод Ньютона, его реализации и модификации. Скорость
сходимости метода Ньютона.
МОДУЛЬ 2. Приближение функций
1. Задача приближения функций. Интерполяция и аппроксимация
функций. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Эрмита. Оценка
погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа.
2. Интерполяция сплайнами. Линейная и кубическая сплайн-
интерполяция. Метод наименьших квадратов. Метод наименьших квад-
ратов в классе полиномиальных функций.
МОДУЛЬ 3. Численные методы решения задачи Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений
1. Численное интегрирование. Квадратурные формулы. Порядок
точности. Правило Рунге вычисления погрешности. Уточнение по
Ричардсону. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Ал-
горитм вычисления интеграла с заданной точностью.
