В.Г. Богомолов
4
В любой односвязной области
плоское безвихревое соленои-
дальное поле
1 2
,
a
обладает комплексным потенциалом
,
,
,
f z u x y iv x y
причем функция
f z
является аналитиче-
ской в этой области и справедливо равенство
1
2
.
a f z
i
Верно и обратное: любую функцию, аналитическую в области
,
можно рассматривать как комплексный потенциал некоторого плос-
кого векторного поля, заданного в этой области.
Физическая интерпретация вектора
1 2
,
a
может быть раз-
личной. Если
1 2
,
a
— вектор скорости частицы в установив-
шемся плоскопараллельном течении идеальной несжимаемой жидко-
сти, то источники и вихревые точки такого поля оказываются особы-
ми точками функции
.
f z
Они характеризуются тем, что
0
div a
или
0.
rot a
При этом поток
Q
и циркуляция
этого векторного
поля связаны с комплексным потенциалом соотношением
1
2
f z dz
iQ ic
(здесь
— замкнутая кривая, содержащая
внутри себя особую точку;
1
c
— вычет в этой точке). Таким обра-
зом, мы имеем
Re
f z dz
и
Im
.
Q f z dz
С помощью ком-
плексного потенциала часто решаются задачи обтекания тел потока-
ми жидкости или газа, ищется подъемная сила, исследуются крити-
ческие точки течения.
В задачах электростатики и электродинамики [10] используют
комплексный вектор напряженности
1
2
E E iE
, т. е. силу, дей-
ствующую на единичный заряд, помещенный в точку. Как известно,
электростатическое поле всегда потенциально, при этом гармониче-
ская функция
,
Im ,
v x y
f z
называемая потенциальной, такова,
что
.
v v
E
i
x y
Функция
,
Re
u x y
f z
называется силовой.
Зная комплексный потенциал, можно изобразить силовые и эквипо-
тенциальные линии поля, задаваемые, соответственно, уравнениями
,
const
u x y
и
,
const.
v x y
Если известно, что комплексный потенциал имеет вид
0
,
2
i
n
Me
f z
z z
где
n
— натуральное число,
M
и
— действительные числа, а
z
и
0
z
— комплексные числа, то в этом случае точка
0
z
является един-
