Г.Н. Кувыркин
нимизируемый функционал
[ ] =
1
2
∫︁
l
( )
(︀
∇
( )
)︀
2
( ) + 2
p
2
a
2
p
/
2
∫︁
0
(︀
D
к
(
j
)
)︀
2
sin
j j
,
(14)
где
∇
— дифференциальный оператор Гамильтона;
D
к
(
j
)
— разность
температур на контактной полусферической поверхности радиусом
;
j
— угол, отсчитываемый от оси
x
b
, для которого
cos
j
=
b
/
,
и максимизируемый функционал
[ ] =
−
1
2
∫︁
r
( )
(︀
( )
)︀
2
( )
−
∫︁
( ) ( )
·
( ) ( )
−
−
2
p
2
a
2
p
/
2
∫︁
0
(︀
D
к
(
j
)
)︀
2
sin
j j
,
∈
,
(15)
где — вектор плотности теплового потока;
r
( ) = 1
/
l
( )
при
>
и
r
( ) = 1
/
L
b
при
<
; — единичный вектор внешней
нормали к поверхности .
В качестве допустимого для функционала (14) примем при
>
линейное по высоте цилиндра распределение температуры с постоян-
ной составляющей градиента
b
, т. е.
*
(
,
j
) =
b
cos
j
,
(16)
а в шаровом включении аналогично в силу симметрии относительно
оси x
b
∘
*
=
∘
*
cos
j
.
(17)
Условие непрерывности плотности теплового потока при
=
пред-
ставим в виде
a
(
*
−
∘
*
)
⃒ ⃒ ⃒
=
=
L
b
∘
*
⃒ ⃒ ⃒
=
cos
j
.
Отсюда с учетом соотношений (16) и (17) находим
∘
*
= Bi
b
/
(Bi + ¯
L
b
)
и
D
к
(
j
) =
b
¯
L
b
cos
j
Bi + ¯
L
b
.
В итоге функционал (14) примет вид
[ ] =
l
2
b
2
0
−
2
p
3
3
l
2
b
2
+ 2
p
3
−
3
3
l
2
b
2
+
+ 2
p
3
3
L
b
(Bi
b
)
2
2(Bi +
L
b
)
2
+ 2
p
3
3
l
¯
L
2
b
Bi
(Bi + ¯
L
b
)
2
.
(18)
6
