Эффективный коэффициент теплопроводности композита при неидеальном. . .
где
q
∘
следует из равенства (8) после замены в правой части этого равен-
ства
¯
L
b
на
¯
L
= (
L
1
+
L
2
+
L
3
)
/
(3
l
)
. Отметим, что соотношение (13)
совпадает с результатом, полученным в работах [8, 9] в предположе-
нии изотропии шаровых включений. При идеальном тепловом контак-
те между матрицей и включениями (
Bi
→ ∞
) это соотношение иден-
тично известной формуле Максвелла [4, 10] для гранулированной сре-
ды, состоящей из маточной породы и включений в виде изотропных
гранул. Такое совпадение можно считать косвенным подтверждением кор-
ректности процедуры, использованной при получении формулы (12).
Построение двусторонних оценок.
Для оценки возможной пог-
решности формулы (12) используем двойственную вариационную
формулировку задачи стационарной теплопроводности [5, 11], позво-
ляющую получить двусторонние оценки эффективного коэффициента
теплопроводности рассматриваемого композита в направлении коор-
динатной оси
x
b
. В область в виде прямого цилиндра с достаточно
большой площадью
0
параллельных оснований поместим половину
составной шаровой частицы радиусом , причем центр этой части-
цы и одно из оснований цилиндра соответствует значению
b
= 0
,
а другое основание — значению
b
=
≫
1
.
Шаровая частица состоит из шарового слоя толщиной
(
−
)
материала матрицы и анизотропного шарового включения радиусом
, причем тепловой контакт между этим слоем и включением являет-
ся неидеальным. Остальная часть области вне половины составной
шаровой частицы радиусом заполнена однородным материалом
с оцениваемым значением
l
*
b
эффективного коэффициента теплопро-
водности в направлении оси
x
b
, соответствующим объемной кон-
центрации
= (
/
)
3
анизотропных шаровых включений. Для
получения двусторонних оценок этого значения боковую поверхность
цилиндрической области примем идеально теплоизолированной,
температуру основания при
b
= 0
положим равной нулю, а на втором
основании зададим температуру
b
.
Тогда в неоднородной цилиндрической области объемом
=
0
,
ограниченной поверхностью , распределение температуры
( )
и коэффициент теплопроводности
l
( )
будут функциями координат
точки
∈
, причем функция
l
( )
кусочно-постоянная и принима-
ет значения
l
*
b
при
>
и
l
при
< <
, где — расстояние
этой точки от центра включения, а при
<
свойства материала
анизотропного шарового включения определяют главные значения
L
b
тензора теплопроводности.
Двойственная вариационная формулировка стационарной задачи
теплопроводности в рассматриваемой области включает в себя [8] ми-
5
