Эффективный коэффициент теплопроводности композита при неидеальном. . .
где
Bi =
a
/
l
— число Био. Равенство средней и правой частей
формулы (4) представим в виде
(︀
a
( +
/
3
−
∘
)
−
l
∘
)︀
= 0
.
Отсюда при произвольных значениях координат , удовлетворяющих
условию
=
2
, находим
∘
=
Bi( +
/
3
)
Bi
d
+ ¯
l
.
(6)
Здесь
d
— символ Кронекера (
d
= 1
при
=
и
d
= 0
при
̸
=
);
¯
l
=
l
/
l
. Приравняв правые части формул (5) и (6), получим
3
=
g e
,
(7)
где
g
=
(︀
2Bi
d
+ (2 + Bi) ¯
l
)︀
−
1
и
e
= Bi
d
+ (1
−
Bi) ¯
l
.
Пусть главные оси тензора теплопроводности материала включе-
ния совпадают с осями
x
используемой системы координат. Тогда
g
и
e
— элементы диагональных матриц третьего порядка, произве-
дение которых также будет диагональной матрицей третьего порядка
с элементами
q
b
=
Bi + (1
−
Bi) ¯
L
b
2Bi + (2 + Bi) ¯
L
b
,
b
= 1
,
2
,
3
,
(8)
где
¯
L
b
=
L
b
/
l
. Поэтому правую часть равенств (7) можно предста-
вить как произведение двух диагональных матриц и вектора с коорди-
натами
b
. В итоге вместо этих равенств запишем
b
/
b
3
=
q
b
.
Из формулы (2) следует, что наличие шарового включения создает
в матрице возмущение температурного поля относительно линейного
распределения
,
∘
x
на большом удалении от этого включения, опи-
сываемое соотношением
D
=
3
.
(9)
Пусть одинаковых шаровых включений с одинаковой ориентацией
главных осей тензора теплопроводности находятся в объеме ша-
ра, ограниченном сферической поверхностью радиусом . Так как
объем каждого включения равен
4
p
3
/
3
, в объеме
= 4
p
3
/
3
объ-
емная концентрация включений
=
3
/
3
.
Положим, что
2
=
3
= 0
. Для точки, удаленной от каждого из
включений на весьма большое расстояние по сравнению со значе-
нием , примем для всех включений
|
x
1
| ≫
. Тогда, согласно
формуле (9),
весьма удаленных включений, расположенных в объе-
ме , вызовут в этой точке возмущение температуры, которое с уче-
3
