Определение динамических характеристик гранулированных сред. . .
Используя метод возмущений в предположении
ℎ/
≪
1
, вековое
уравнение можно представить в виде
det(˜
w
)
≈
sin(˜
g
1
) +
ℎ
˜
g
2
cos(˜
g
1
)
˜
G
−
1
+ ˜
G
−
1
2
+
+
ℎ
˜
g
2
cos(˜
g
1
(
−
2
0
))
˜
G
−
1
−
˜
G
−
1
2
= 0
.
Аналогично, как и при определении динамической плотности, введем
малый параметр
Dw
w
∼
ℎ
,
Dw
= (
w
−
˜
w
)
.
Тогда вековое уравнение принимает вид
det(˜
w
)
≈
sin(
g
1
) +
ℎ
g
2
cos(
g
1
)
G
−
1
+
G
−
1
2
+
+
ℎ
g
2
cos(
g
1
(
−
2
0
))
G
−
1
−
G
−
1
2
+
+ (
g
1
)
′
|
˜
w
=
w
cos(
g
1
)(˜
w
−
w
) = 0
,
(14)
где введены обозначения:
G
=
g
1
g
2
,
g
2
=
√︃
w
2
2
2
−
(︁
p
)︁
2
−
(︁
p
)︁
2
,
g
1
=
√︃
w
2
2
1
−
(︁
p
)︁
2
−
(︁
p
)︁
2
=
p
.
(15)
С учетом формулы (15) выражение (14) можно записать следующим
образом:
det(˜
w
)
≈
(
−
1)
(︂
ℎ
G
−
1
g
2
+
G
−
1
g
1
2
+
+
ℎ
(2 cos
2
(
g
1 0
)
−
1)
G
−
1
g
2
−
G
−
1
g
1
2
+ (
g
1
)
′
|
˜
w
=
w
(˜
w
−
w
)
)︂
= 0
.
Отсюда найдем собственную частоту
˜
w
и сдвиг частот
Dw
:
˜
w
=
−
g
1
2
1
w
(︁
ℎ
g
2
G
−
1
+
G
−
1
2
+
+
ℎ
g
2
(︀
2 cos
2
(
g
1 0
)
−
1
)︀
G
−
1
−
G
−
1
2
−
w
2
g
1
2
1
)︁
,
Dw
= ˜
w
−
w
=
ℎ
g
1
g
2
2
1
w
(︀
G
−
1
+ cos
2
(
g
1 0
)(
G
−
1
−
G
−
1
)
)︀
.
(16)
Выражения (16) можно существенно упростить, если предполо-
жить, что образец среды помещен в пучность давления акустической
волны,
cos(
g
1 0
) = 0
. Последнее предположение вполне реализуемо
9
