Л.Д. Акуленко, А.А. Гавриков, С.В. Нестеров
потенциал удовлетворяет волновому уравнению
¨
F
=
2
1
DF
и учитывая
акустическую мягкость стенок и дна сосуда, получаем
{︃
D3
+
2
3
= 0
,
=
w
1
,
3
|
W
= 0
,
W
= [0
,
]
×
[0
,
]
×
[0
,
]
,
где — волновое число.
Методом разделения переменных находим собственные частоты
w
и формы колебаний
3
:
3
= sin
(︂
p
)︂
sin
(︁
p
)︁
sin
(︁
p
)︁
,
, ,
∈
N
,
(
w
)
2
2
1
=
(︂
p
)︂
2
+
(︁
p
)︁
2
+
(︁
p
)︁
2
,
=
w
2
p
.
(1)
Здесь
w
,
— круговые и циклические частоты соответственно
(индексы далее опускаются).
Определение динамической плотности.
На втором этапе решим
задачу на собственные частоты и формы колебаний с учетом слоя
среды толщиной
ℎ >
0
. Принимая аналогичные допущения, обозна-
чим плотность
r
2
и скорость звука
2
в образце среды, собствен-
ную частоту колебаний
˜
w
= ˜
w
, звуковой потенциал в жидкости
F
1
=
3
1
(
, ,
)
˜
w
, в образце среды
F
2
=
3
2
(
, ,
)
˜
w
. Аналитиче-
ское решение соответствует двум интервалам изменения координаты :
D3
+
2
3
= 0
,
=
˜
w
,
= 1
,
2
.
(2)
Условия на свободной поверхности, нижней границе и границе
раздела сред для неизвестных функций
3
имеют вид
3
1
|
= +
ℎ
; =0
,
; =0
,
= 0
,
3
2
|
=0; =0
,
; =0
,
= 0
,
r
1
3
1
|
=
ℎ
=
r
2
3
2
|
=
ℎ
,
(
3
1
)
′
|
=
ℎ
= (
3
2
)
′
|
=
ℎ
.
(3)
Второе равенство (3) соответствует непрерывности звукового давле-
ния и скорости колебаний на границе раздела образца среды и жидко-
сти.
Решения краевой задачи на собственные значения и функции (2),
(3) определяется следующими соотношениями:
3
1
=
1
sin
(︁
p
)︁
sin
(︁
p
)︁
sin
(︀
˜
g
1
( +
ℎ
−
)
)︀
,
3
2
=
2
sin
(︁
p
)︁
sin
(︁
p
)︁
sin ˜
g
2
)
,
˜
g
2
=
˜
w
2
2
−
(︁
p
)︁
2
−
(︁
p
)︁
2
,
= 1
,
2
,
(4)
2
