Определение динамических характеристик гранулированных сред. . .
{︃
1
r
1
sin(˜
g
1
)
−
2
r
2
sin(˜
g
2
ℎ
) = 0
,
1
˜
g
1
cos(˜
g
1
)
−
2
˜
g
2
cos(˜
g
2
ℎ
) = 0
.
(5)
Первые два условия (3) удовлетворяются автоматически. Усло-
вия (5) определяют искомые значения собственной частоты
˜
w
,
свя-
занные с параметрами
˜
g
соотношениями (4). Из условия (5) следует
вековое уравнение
det(˜
w
)
≡
r
1
˜
g
2
sin(˜
g
1
) cos(˜
g
2
ℎ
) +
r
2
˜
g
1
sin(˜
g
2
ℎ
) cos(˜
g
1
) = 0
,
˜
g
= ˜
g
(˜
w
,
2
,
r
2
)
,
= 1
,
2
.
(6)
В уравнении (6) величины
r
1
,
,
ℎ
, , ,
1
, ,
(они входят в вы-
ражения (4)) заданы; неизвестными являются
˜
w
,
2
,
r
2
. Диссипация
жидкости и среды считается малой, она входит в значения
˜
w
квадрати-
ческим образом и в первом приближении не учитывается, ее значение
оценивается измерением полуширины резонансной кривой (принятой
в радиотехнических измерениях), поскольку теоретическое определе-
ние затруднено. Добротность колебательной системы достаточно ве-
лика (затухание мало).
Уравнение (6) представим в более удобной симметричной форме:
r
1
˜
g
1
tg(˜
g
1
) =
−
r
2
˜
g
2
tg(˜
g
2
ℎ
)
.
(7)
Решим уравнение (7) приближенно методом возмущений в предполо-
жении, что
ℎ
≪
1
,
Dw
w
=
˜
w
−
w
w
∼
ℎ
.
В первом приближении с учетом формулы (6) получим связь
˜
w
и
r
2
˜
g
2
1
2
=
p
2
(︁
1
−
2
r
2
r
1
ℎ
)︁
,
(8)
не содержащую неизвестной величины
2
, что обусловлено первым
условием (3) (акустически мягкое дно сосуда).
Из формулы (8) следует приближенное выражение для
˜
w
2
, которое
позволяет с квадратической погрешностью относительно
ℎ/
вычис-
лить разность частот
˜
w
и
w
:
−
Dw
= ˜
w
−
w
=
−
2
1
(︁
p
)︁
2
r
2
ℎ
r
1
w
−
1
.
(9)
В выражении (9) неизвестными являются величины
˜
w
и
r
2
, осталь-
ные параметры заданы. Наличие среды приводит к уменьшению соб-
ственных частот. Смысл резонансного метода заключается в измере-
нии резонансных частот
˜
w
, практически совпадающих с собственны-
ми частотами
w
соответствующих мод колебаний ,
, . Затем из
линейного относительно неизвестной динамической плотности
r
2
гра-
3
