В.П. Строгалев, И.О. Толкачева
4
(
n
1
= 2 048) и 1 992 выпадений «решки» (
n
2
= 1 992). Совместимо ли это
с гипотезой о том, что вероятность выпадения «орла» при одном бро-
сании равна 1
2 ?
Из математической статистики известно [3], что наиболее распро-
страненным критерием подтверждения непараметрических гипотез
(гипотеза
H
0
: выпадение «орла» и «решки» равновероятны) является
критерий согласия Пирсона χ
2
(«хи-квадрат»).
При использовании χ
2
-критерия вся область изменения генераль-
ной совокупности делится на
k
интервалов, которые могут иметь раз-
личную длину. По выборке составляют вариационный ряд по этим же
интервалам.
По выборке вычисляют оценки параметров теоретического распре-
деления и на его основе вычисляют вероятность
P
i
того, что случайная
величина принимает значение из
i
-го интервала, при этом
1
1.
k
i
i
P
=
=
∑
Теоретические частоты находятся в виде
m
i
=
nP
i
.
Гипотеза
H
0
верна, если теоретические и эмпирические частоты
m
i
и
n
i
достаточно мало отличаются друг от друга. Для проверки гипо-
тезы
H
0
используется статистика
(
)
2
2
1
,
k
i
i
i
i
n m
m
=
−
χ =
∑
которая имеет
χ
2
‑распределение с числом степеней свободы ν =
k
−
r
− 1, где
r
— ко-
личество параметров теоретического распределения, оценки которых
вычислялись по выборке.
Полученное значение статистики сравнивается с табличным значе-
нием χ
2
-критерия на уровне доверительной вероятности (1 − α) и при
превышении этого значения χ
2
гипотеза
H
0
отвергается.
Для нашего примера
n
= 4 040;
k
= 2;
n
1
= 2 048;
n
2
= 1 992;
P
1
=
=
P
2
= 0,5; ν =
k
− 1 = 1 и при α = 0,05 находим из таблиц
2
0,05
(1) 3,841.
χ =
Проверим гипотезу
H
0
о том, что вероятности выпадения «орла»
и «решки» равны 1
2 . Имеем
2
2 048 4 040 0,5 1992 4 040 0,5 0, 776.
4 040 0,5
4 040 0,5
− ⋅
− ⋅
χ =
+
=
⋅
⋅
Поскольку 0,776 < 3,841, статистические данные не противоречат
гипотезе
H
0
.
Используя на компьютере датчик случайных чисел, распределенных
по равномерному закону, и имитируя таким образом подбрасывание мо-
неты, получим при достаточно большом числе попыток величину иско-
мой вероятности, близкую к 0,5. Если случайное число меньше 0,5,
выпадает «орел», больше 0,5 — «решка». Вероятность выпадения
