Взаимодействие стабилизирующих и дестабилизирующих факторов…
5
*
= ( ) = exp
.
a
B
P f T P A
T
Выражая из первых двух уравнений давление и температуру и
подставляя их в третье уравнение, находим уравнение для определе-
ния положения поверхности фазового перехода:
( ) = 0,
G H
(6)
где
( )
G H
— трансцендентная функция [5];
= / .
H h L
Уравнение (6) имеет один или три корня (с учетом кратности), а
следовательно, для фиксированных значений физических параметров
существует одна или три поверхности фазового перехода.
Устойчивость вертикальных течений.
Представим решение
задачи (2)–(4) для каждого низкопроницаемого слоя в виде
( , , ) =
( , , ), ( , , ) =
( , , );
= ( , ) =
,
0, 0,
/
s
s
P t x z P P t x z T t x z T T t x z
V V t x
t
(7)
где = ( , )
z h t x
— уравнение поверхности фазового перехода.
Решение (7) является возмущением решения (5), описывающего
вертикальный поток. Считая, что давление и температура на верхней и
нижней горизонтальных границах низкопроницаемого слоя не возму-
щаются, после подстановки (7) в (2)–(4) получаем систему уравнений с
граничными условиями на возмущения
( ),
P z
( ).
T z
Решение этой
системы определяет глобальное по времени поведение возмущенного
потока, в частности, как сильно он отклоняется от невозмущенного. В
связи с этим можно говорить об устойчивости или неустойчивости вер-
тикального течения. В силу того факта, что решение нередуцирован-
ных уравнений с граничными условиями для возмущений практически
невозможно, имеет смысл рассматривать линейную устойчивость вер-
тикального потока по отношению к малым возмущениям, а также пы-
таться учесть влияние нелинейности на эволюцию этих возмущений.
Для линейной (или нормальной) устойчивости характерен экспо-
ненциальный рост или убывание малых возмущений:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
( , , ) = ( ) exp(
);
( , , ) = ( ) exp(
);
P t x z
P z
i x t
T t x z
T z
i x t
ˆ
ˆ
ˆ
( , ) = exp(i
),
t x
x t
(8)
что удовлетворяет линеаризованным вокруг вертикального течения
(5) граничным условиям и уравнениям (2)–(4).
Поведение возмущений (8) (их рост или убывание) определяется
ветвями дисперсионных кривых вида
