λ
0
= cos
χ
2
;
λ
1
= cos
α
0
sin
χ
2
;
λ
2
= cos
β
0
sin
χ
2
;
λ
3
= cos
γ
0
sin
χ
2
.
Условие нормировки [9]
λ
2
0
+
λ
2
1
+
λ
2
2
+
λ
2
3
= 1
.
(2)
Особенностью используемого алгоритма является определение
вектора силы натяжения троса
T
j
в связанной системе координат
j
-го
тела
O
j
X
j
Y
j
Z
j
, путем перевода координат дискретной точки тро-
са, следующей за точкой подвеса, из геоцентрической неподвижной
системы координат в связанную.
Составляющие момента
L
X
j
,
L
Y
j
,
L
Z
j
вычисляются через извест-
ное значение силы натяжения троса и ее проекций (
T
j
) в связанной
системе координат твердого тела и координаты (радиус-вектор) точки
подвеса
X
j
, Y
j
, Z
j
(
r
j
)
:
L
j
=
r
j
×
T
j
или
 
L
X
j
L
Y
j
L
Z
j
 
=
 
T
Z
j
Y
j
−
T
Y
j
Z
j
T
X
j
Z
j
−
T
Z
j
X
j
T
Y
j
X
j
−
T
X
j
Y
j
 
.
Уравнения динамики Эйлера дополняются кинематическими урав-
нениями, связывающими угловую скорость вращения твердого тела с
кватернионными параметрами [8]:
ω
X
= 2
λ
0
˙
λ
1
+
λ
3
˙
λ
2
−
λ
2
˙
λ
3
−
λ
1
˙
λ
0
;
ω
Y
= 2
−
λ
3
˙
λ
1
+
λ
0
˙
λ
2
+
λ
1
˙
λ
3
−
λ
2
˙
λ
0
;
ω
Z
= 2
λ
2
˙
λ
1
−
λ
1
˙
λ
2
+
λ
0
˙
λ
3
−
λ
3
˙
λ
0
.
(3)
Из системы уравнений (3) и условия нормировки (2) находим зна-
чения первых производных кватернионных параметров через значения
угловых скоростей в связанной системе координат:
44
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
1,2,3 5,6,7,8