Стр. 3 - В.В. Коровин, А.В. Попов, В.И. Усюкин - Кватернионные параметры Родрига–Гамильтона в модели космической тросовой связки

Кинематические уравнения, связывающие угловые скорости вра-
щения твердого тела и углы Эйлера, определяющие его положение,
имеют вид [5]
ω X = ˙ψ sin θ sin ϕ + ˙θ cos ϕ;
ω Y = ˙ψ sin θ cos ϕ − ˙
θ sin ϕ;
ω Z = ˙ψ cos θ cos ϕ + ˙ϕ,
откуда получим
˙
ψ =
ωY cos ϕ + ωX sin ϕ
sin θ
;
˙
θ = ωX cos ϕ − ωY sin ϕ;
˙ ϕ = ωZ − cos θ
sin θ
( ωY cos ϕ + ωX sin ϕ).
Очевидно, что при θ → 0 получим ˙
ψ → ∞, ˙ ϕ → ∞. Происходит
вырождение системы уравнений, что делает затруднительным исполь-
зование таких выражений для численного интегрирования [6]. То же
касается и углов Крылова. В последние годы для описания ориен-
тации в трехмерном пространстве нашли применение кватернионные
параметры Родрига–Гамильтона (кватернионы).
Кватернион — гиперкомплексное число вида λ = λ0 + iλ1 + jλ2 +
+k λ3, геометрически реализуемое в четырехмерном пространстве [7].
Здесь λ0 , λ1, λ2 , λ3 — кватернионные параметры.
Поясним суть кватернионных параметров. По теореме Эйлера–
Даламбера перевод твердого тела с одной закрепленной точкой из
одного положения в другое может быть совершен за один поворот во-
круг неподвижной мгновенной оси, проходящей через точку вращения
(рис. 2)
Рис. 2. К определению кватерниона
Используя теорему о конечном
перемещении твердого тела [8], за-
пишем вектор конечного поворота:
θ = 2 tg
χ
2
e , где e = i cos α0 +
+ j cos β0 + k cos γ 0 .
Кватернионы — это гиперком-
плексные числа, при описании ко-
торых используют форму записи с
проекциями вектора конечного по-
ворота на оси связанной системы ко-
ординат и углом поворота [8]:
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012 43