Интегрируя уравнения (1), (2) по области
d
Γ =
4
d
2
p
(2
π
¯
h
)
2
,
где множитель 4 связан с двукратным спиновым и поверхностным
вырождением, получаем уравнения непрерывности для электронной
и дырочной комп онент:
∂
Σ
e
∂t
+
∂
Σ
e
v
e
∂
r
=
0;
∂
Σ
h
∂t
+
∂
Σ
h
v
h
∂
r
=
0.
(5)
В уравнениях (5) равновесное значение плотности носителей —
электронов и дырок — на единицу поверхности графена
Σ
e
=
4
d
2
p
(2
π
¯
h
)
2
1
+ exp
ε
−
μ
e
T
;
Σ
h
=
4
d
2
p
(2
π
¯
h
)
2
1
+ exp
ε
+
μ
h
T
.
Из уравнений (1), (2) после умножения на импульс
p
и интегриро-
вания по
d
Γ
следует уравнение Эйлера:
3
2
∂
∂t
p
e
v
e
v
F
+
1
2
∂
(
p
e
v
F
)
∂
r
−
e
Σ
e
E
+
1
2
e
Σ
e
v
e
×
B
z
=
F
e
;
(6)
3
2
∂
∂t
p
h
v
h
v
F
+
1
2
∂
(
p
h
v
F
)
∂
r
+
e
Σ
h
E
−
1
2
e
Σ
h
v
h
×
B
z
=
F
h
.
(7)
Следует обратить внимание на то, что вследствие линейности
энергетического спектра носителей сила Лоренца, действующая на по-
ток частиц с плотностью тока
j
=
e
Σ
v
, имеет вид
F
L
=
1
2
e
Σ
v
×
B
z
=
1
2
j
×
B
z
,
что ровно в 2 раза меньше, чем в аналогичном выражении для класси-
ческого электронного газа. Множитель
1
2
получается при усреднении
потоков частиц в различных направлениях и связан с тем, что все ча-
стицы движутся с одной и той же скоростью.
Уравнения для переноса энергии определим, умножая уравне-
ния (1) и (2) на
ε
и интегрируя по
d
Γ
:
∂
(
v
F
p
e
)
∂t
+
3
v
F
2
∂
(
v
e
p
e
)
∂
r
+
e
Σ
e
v
e
E
=
Q
e
;
(8)
∂
(
v
F
p
h
)
∂t
+
3
v
F
2
∂
(
v
h
p
h
)
∂
r
−
e
Σ
e
v
h
E
=
Q
h
.
(9)
Уравнения (8) и (9) необходимо дополнить уравнением состояния,
связывающим между собой плотность носителей на единицу площади
180
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. «Приборостроение». 2012
1,2 4,5,6,7,8