4 / 9
И.А. Ломака, Е.В. Устюгов
4
Инженерный журнал: наука и инновации
# 8·2016
Координаты точки касания
K
определим, решив систему линей-
ных уравнений
(
)
;
;
0
0,
x x
y y
z Z
Zx x
Zy y
Zz Z
Zz
kx x
ky y
kz Z
v K v K v K
n K n K n K R H n
n K n K n K
+ + =
+
+
= +
+ +
=
(1)
где
.
z
p
v n n
= ×
Сечение сферы плоскостью кадра 1–2–3–4 представляет собой
окружность с центром в точке
C
, координаты которого определим из
решения системы линейных уравнений:
0;
0;
.
x x
y y
z Z
rx x
ry y
rz Z
kx x
ky y
kz Z kx x
ky y
kz Z
v C v C v C
n C n C n C
n C n C n C n K n K n K
+ + =
+ + =
+ + = + +
(2)
Вычислим координаты крайних точек кадра 1–4 соответственно
решением систем линейных уравнений:
(
)
(
)
1 1 1 1 1 1 1
3 1 3 1 3 1 3
1
1
1
;
;
;
x
y
z
z
x
y
z
z
kx
ky
kz
kx x
ky y
kz Z
n X n Y n Z n R H
n X n Y n Z n R H
n X n Y n Z n C n C n C
+ + = +
+ + = +
+ + = + +
(3)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1
4 2 4 2 4 2
4
2
2
2
;
;
;
x
y
z
z
x
y
z
z
kx
ky
kz
kx x
ky y
kz Z
n X n Y n Z n R H
n X n Y n Z n R H
n X n Y n Z n C n C n C
+ + = +
+ + =
+
+ + = + +
(4)
(
)
(
)
2 3 2 3 2 3
2
4 3 4 3 4 3
4
3
3
3
;
;
;
x
y
z
z
x
y
z
z
kx
ky
kz
kx x
ky y
kz Z
n X n Y n Z n R H
n X n Y n Z n R H
n X n Y n Z n C n C n C
+ + =
+
+ + =
+
+ + = + +
(5)
(
)
(
)
2 4 2 4 2 4
2
3 4 3 4 3 4
3
4
4
4
;
.
;
x
y
z
z
x
y
z
z
kx
ky
kz
kx x
ky y
kz Z
n X n Y n Z n R H
n X n Y n Z n R H
n X n Y n Z n C n C n C
+ + =
+
+ + = +
+ + = + +
(6)
Определим радиус сечения сферы плоскостью кадра по формуле
(
)
(
)
(
)
2
2
2
сеч
.
x
x
y
y
z
z
R K C K C K C
= − + − + −
(7)
Зададим окружность в пространстве, зная ее радиус и координа-
ты центра согласно системе уравнений