3 / 7
Асимптотические оценки надежности системы с резервированием…
3
( ) 1
( )
( , ) max
, ,
n
i
i
H d i
f d t
f
t
(2)
где функция
,
ln
(
1 )
i
t
i
i
f
t
e
монотонно возрастает и выпукла
вверх по
0
i
,
1, , .
i
n
В силу указанной монотонности макси-
мум (2) достигается на границе области
( ),
H d
т. е. при ограничениях
1
Λ
0, 1
( )
, , .
,
n
i i
i
i
D T
i
n
Система уравнений Лагранжа (необходимое условие для услов-
ного экстремума в (2)) в этом случае имеет вид
1
; (3)
(
1
Λ 1, , , (4)
),
i
i
t
i
t
i
n
i i
i
f
te
T
e
T
i
n
D
где
0
— неопределенный множитель Лагранжа. Решая систему
уравнений (3), (4), находим, что максимум (2) достигается в точке
*
*
*
1
, ,
n
, где
* *
1 ln 1
, 1, , .
( )
i
i
i
t
i
n
t
T
(5)
Величина
0
определяется из уравнения
1
ln 1
( ) Λ .
n
i
i
i
T
t
t
T
D
(6)
Соответственно, верхняя γ-доверительная граница
Q
для веро-
ятности отказа системы
*
1
( )
1 exp
,
) (
n
i
i
Q Q t
t
(7)
а нижняя γ-доверительная граница для функции надежности системы
*
1
( ) 1 1 ex
)
p (
.
n
i
i
P P t
t
Асимптотические выражения для случая высокой надежно-
сти.
Рассмотрим асимптотическое поведение полученных выражений
при
0
t
, т. е. на начальном интервале времени при малых
t
, когда