В.Д. Сулимов, П.М. Шкапов
6
4. Если
, то останов:
k
x
есть решение. Иначе заменить
на
/ 2
. Положить
i
k
y x
,
1
k
k
x x
, заменить
k
на
1
k
, положить
1
j
и повторить шаг 1.
К числу активно используемых методов этого класса относится
симплекс-метод Нелдера — Мида. Установлено, что алгоритмы, реа-
лизующие стандартный вариант этого метода, не всегда обеспечивают
сходимость к стационарной точке [15]. Одной из современных являет-
ся, например, рандомизированная версия алгоритма Нелдера — Мида
для задач большой размерности. Ниже для решения задачи локальной
минимизации применен модифицированный метод Нелдера — Мида.
Следует отметить, что алгоритм, реализующий указанный метод, яв-
ляется робастным для задач с разрывными или зашумленными крите-
риальными функциями [16].
Поиск локальных решений рассматриваемой задачи может выпол-
няться с использованием детерминированного метода кривой, запол-
няющей пространство [17]. Для решения задачи липшицевой миними-
зации исходная многомерная задача редуцируется к эквивалентной
одномерной с использованием кривой Пеано, построение которой
проводится по схеме Гильберта:
0, 1
min
min
.
x D
f x
f x
Следует отметить [17], что
f x
есть одномерное непрерыв-
ное отображение единичного интервала
0, 1
на гиперкуб
D
. Кроме
того, если многомерная функция
,
,
f x x D
редуцируемой задачи
удовлетворяет условию Липшица с константой
L
, то одномерная
функция
,
0, 1 ,
f x
удовлетворяет на единичном интервале
условию Гельдера:
1/
2
3
, ,
0, 1 .
n
f x
f x
L n
Существенно, что для полученной редуцированием функции
f x
, которая является гельдеровой, условие Липшица уже не вы-
полняется. В работе [17] тем не менее показано, что известные одно-
мерные алгоритмы липшицевой оптимизации могут быть обобщены
на случай минимизации гельдеровых функций. В численных алгорит-
мах применяются кривые, аппроксимирующие кривую Пеано —
Гильберта
,
0, 1
x
, с априорно заданным уровнем разбиения
(плотностью развертки), зависящим от требуемой точности поиска.
Прямой метод редукции многомерных задач обладает рядом
важных свойств, таких как непрерывность и сохранение равномерной
