Особенности колебаний жидкости в прямоугольном сосуде…
5
Исключив стандартным образом неизвестную
u
из (3) и (4), запи-
шем уравнение волновых движений жидкости в виде
2
2
( ( ) ).
g h x
t
x
x
(5)
Для решения уравнения (5) представляет интерес задача на соб-
ственные значения (частоты колебаний жидкости) и собственные
функции (профили свободной поверхности) [1–4]. Для волн типа сейш
торцы канала
0,
x l
ограничиваются жесткими вертикальными стен-
ками, на которых выполняются краевые условия непротекания:
0
0
x
x l
x
x
при
0
.
t t
(6)
Найдем периодические решения краевой задачи в виде
( , )
( )
i t
x t W x e
. После подстановки в (5) и (6) получим
2
( )
0;
'(0)
'( ) 0.
d
dW h x
W
dx
dx g
W W l
(7)
Если
0
( )
h x h
, то (7) имеет аналитическое решение, отвечающее
соответствующим модам стоячих волн:
2
2
0
;
( )
cos
n
n
n
n
W x A x
gh l
l
( 1, 2,3,...).
n
Для решения задачи в случае локальной нерегулярности (
0
( )
h x h
)
на дне воспользуемся высокоточным численно-аналитическим методом
ускоренной сходимости [14].
Рассматриваемая краевая задача на собственные значения и функ-
ции может быть приведена к следующему виду:
( )
0;
'(0)
'(1) 0.
n
d
dW h x
W
dx
dx
W W
(8)
Здесь
x
,
h
— нормированные на
l
и
0
h
горизонтальная координата
и глубина соответственно. Искомый параметр
n
связан с частотой
соотношением
2 2
2
0
.
n
l
n
gh
Для определения собственных значений
n
и функций
( )
n
W x
за-
дачи (8) с граничными условиями типа Неймана (второго рода) при-
