Чжо Ту Аунг, Д.В. Мельников
8
2
2
( )
;
1;
1;
4.
h
Y
X
X
K
e b h
Требуется определить математическое ожидание и дисперсию
выходной координаты
X
в момент времени
1.
t
Этот простой пример выбран неслучайно — он допускает точное
аналитическое решение. Из заданного дифференциального уравнения
и начальных условий следует, что
0
( )
( ) ;
t
t
X t
e e Y d
0
( )
( ) .
t
t
M X t
e e M Y d
По условию задачи
( ) 0,
M Y
поэтому
( ) 0
M X t
. Вычис-
лим дисперсию
1
2
1 2
1
2
2
(
) (
)
1 2 1 2
0 0
(
) (
)
1 2
0 0
( )
(
)
4
.
t t
t
t
Y
t t
t
t
D X t
M X t
M X t
e
e
K
d d
e
e
e
d d
Разбив область интегрирования при
1
t
на две области:
1
,
D
где
1 2
,
и
2
,
D
где
2 1
,
из последней формулы получим
1 2
1 2
1
2
2
1
2
1 2
0 0
1
1
2
2
2
2
1
2
2
1
0 0
0
0
( ) 4
4
2 6 .
t t
D X t
e e e
d d
e d e d
d e d
e
Таким образом, в рассматриваемом примере точные значения ма-
тематического ожидания и дисперсии при
1
t
соответственно равны
1
0,
X t
m t
2
1
2 6 1,1879882.
X t
D t
e
Решим поставленную задачу методом детерминированных экви-
валентов. Для этого представим случайную функцию в виде некано-
нического разложения [4]
2 1
2
( )
sin
cos ,
X
Y t
V t V V t
где
1 2
,
V V
— независимые случайные величины,
