Алгоритм исследования нелинейных систем автоматического управления…
3
В наиболее общем виде можно предложить следующую матема-
тическую формулировку задачи исследования радиотехнических
устройств в стохастических режимах.
1. Задана система дифференциальных уравнений относительно
выходных координат системы
1 2
, , ,
n
X X X
в форме
1 2
1 2
1 2
; ,
, ,
; , , , ; , ,
,
,
i
i
n
m
r
dX g t X X X Y Y Y
dt
(0) 0,
i
X
(1)
где
t
— время;
i
g
— некоторые функции;
1 2
, , ,
n
X X X
— фазовые
(выходные) координаты системы;
1 2
, , ,
m
Y Y Y
— случайные функ-
ции времени, моделирующие случайные воздействия на систему;
1 2
, , ,
r
— случайные функции времени, моделирующие слу-
чайные отклонения параметров системы управления.
2. Заданы вероятностные характеристики случайных функций
(величин)
1 2
, , , ;
m
Y Y Y
1 2
, , ,
r
в виде моментов или законов
распределения вероятностей.
3. Заданы функции от выходных координат
1
2
;
,
,
,
k
t X t X t
,
n
X t
1, 2, ,
k
определяющих форму вероятностных характери-
стик.
Требуется по заданной системе дифференциальных уравнений (1)
и заданным вероятностным характеристикам случайных функций
1 2
, , , ;
m
Y Y Y
1 2
, , ,
r
определить математические ожидания
функций
k
, т. е.
,
k
M
1, 2,
k
Математические ожидания
k
M
в частных случаях могут вы-
ражать следующие вероятностные характеристики: математические
ожидания выходных координат; дисперсии выходных координат; ин-
тегральные многомерные законы распределения выходных коорди-
нат; математические ожидания, дисперсии и интегральные законы
для некоторых функций от выходных координат; вероятность того,
что некоторая функция от выходных координат будет в течение вы-
бранного промежутка времени изменяться в заданной области; веро-
ятность того, что несколько функций от выходных координат будут в
заданные интервалы времени изменяться в заданных областях и т. д.
Задачу получения реализаций случайной функции по ее задан-
ным вероятностным характеристикам c применением ЭВМ целесооб-
разно решать, используя те или иные представлением случайных
функций в форме детерминированных функций от случайных вели-
чин (представления Карунена, Пугачева, Котельникова, Чернецкого,
представления с помощью интерполяционных полиномов и рядов
Фурье) [3]. После таких представлений систему (1) можно записать
следующим образом:
