Чжо Ту Аунг, Д.В. Мельников
4
1 2
1 2
; ,
, ,
; , , ,
,
i
i
n
l
dX f t X X X V V V
dt
0 0,
i
X
(2)
где
t
— время;
1 2
,
, ,
n
X X X
— фазовые координаты системы;
1 2
, , ,
l
V V V
— некоррелированные случайные величины (индекс
l
учитывает и все случайные величины, появившиеся в ходе проведен-
ных преобразований) с известными дифференциальными законами
распределения
1 2
,
, ,
.
l
V V
V
f
f
f
Таким образом, от общей задачи анализа приходим к более простой
задаче: определить математическое ожидание
k
M
1, 2,
,
k
если
задана система дифференциальных уравнений (2) и плотности распре-
деления независимых случайных величин
1
,
V
2
,
, .
l
V V
Пусть правые части системы (2) непрерывны относительно пара-
метров
1 2
, , ,
l
V V V
и допускают разрывы первого рода относительно
аргумента
t
. Тогда интегралы уравнений (4) можно записать в фор-
ме [4]
1 2
, ,
, ; ,
1, .
i
i
l
X t
X V V V t i
n
(3)
В данной работе в качестве аппарата приближения функций (3)
предлагается использовать спектральный способ с разложением ре-
шения в ряд по системам ортонормированных многочленов по каж-
дому аргументу.
Положим, что
2
1 2
1 1
2 2
; , ,
,
,
,
,
,
i
l
l l
X t V V V L a b a b
a b
1,
i
n
,
т. е. решение
1 2
; , , ,
i
i
l
X X t V V V
интегрируемо с квадратом по
переменным
1 2
, , , ,
l
V V V
а
,
z z
a b
— область значений аргумента
,
z
V
т. е.
,
,
z
z z
V a b
1,
z l
. Такая функция может быть разложена
по ортонормированному базису. Полученный ряд будет сходиться в
среднеквадратичном. Для каждого аргумента
z
V
на сегменте
,
z z
a b
определим систему ортонормированных полиномов
z
V
P
0 1
2
,
,
,
z
z
z
V V V
P P P
с весом
z
V
,
1,
z l
. Так, для аргумента
1
V
1
1
1
1
0
v
j
V
V
v
vj
j
P V c V
с весом
1
,
V
для аргумента
l
V
0
l
l
v
V j
V
v
l
vj l
j
P V c V
с
весом
.
l
V
