Фильтр Калмана в задаче наведения
7
в процессе имитационного моделирования. Имитационному модели-
рованию будет посвящена отдельная работа. Здесь будут изучены три
специальных случая.
Случай 1 (графическое решение при «замороженных» парамет-
рах
).
На достаточно коротком временном промежутке [0,
T
] рассмот-
рим систему (11) как систему
с «замороженными» коэффициентами
.
Соответственно, коэффициенты
a
(
t
) и
b
(
t
) системы (11) теперь будем
считать постоянными.
Одним из актуальнейших вопросов калмановской фильтрации в
стационарных динамических системах является изучение асимпто-
тических свойств ковариационной матрицы при
t
∞. Легко про-
веряется, что система (10) «объект – измеритель» при постоянных
A
и
d
управляема по
w
и наблюдаема по
, и потому в соответствии с
теорией [3] у дифференциальной системы Риккати (11) существует
единственное стационарное решение (
s
11
,
s
12
,
s
22
), формально удо-
влетворяющее следующей нелинейной алгебраической системе
Риккати:
1 2
11
12
11
1
12
22
11 12
1 2
2
22
12
,
,
.
0 2 2
0 (
)
0 2
2
as
bs r s
a s bs r s s
s r s
(12)
Утверждение
. В системе (12)
s
12
≠ 0.
Действительно, в случае
s
12
= 0 из второго уравнения системы
(12) вытекало бы
s
22
= 0, но тогда из ее третьего уравнения вытекало
бы
σ
2
= 0, что противоречит исходным условиям, и потому
s
12
≠ 0.
В силу приведенного утверждения можно переписать систему
(12) в эквивалентном виде:
2
12
11
11
2
11
12
12
2
2
22
12
1
,
2
(
)
,
2
1
.
2
a
s
s
s
br
b
b
rb
s r a
s
s
s
s
r
(13)
Отобразим зависимости системы (13) графиками на рис. 2. В прямо-
угольной декартовой системе c осью абсцисс
s
11
и осью ординат
s
12
первому уравнению системы (13) соответствует парабола
1
на рис. 2
