Инженерная геометрия — новая учебная дисциплина…
5
рии», простоту и доступность понимания курса, рассчитанного на
студентов первого уровня квалификации высших технических учеб-
ных заведений.
При анализе взаимного положения двух линейных подпространств
рассмотрим некоторые случаи.
1.
Две прямые
(две 1-плоскости,
р
1
=
р
2
= 1):
не имеющие общих точек
— принадлежат, согласно (1), вмеща-
ющему их пространству минимальной размерности
n
= 1 + 1 + 2 – 1 = 3;
пересекающиеся в точке
(0-плоскость,
r
= 0) — принадлежат,
согласно (2), вмещающему их пространству минимальной размерно-
сти 0 = 1 + 1 –
n
;
n
= 2.
Вывод: любые две прямые принадлежат одному минимальному
трехмерному пространству, если же прямые пересекаются или парал-
лельны, то они принадлежат одному двумерному пространству (2-плос-
кость).
Для сравнения: три линейно независимые прямые (
р
1
=
р
2
=
р
3
= 1)
принадлежат вмещающему пространству минимальной размерности
n
= 1 + 1 + 1 + 3 – 1 = 5.
2.
Прямая и плоскость
(1-плоскость,
р
1
= 1 и 2-плоскость,
р
2
= 2):
не имеющие общих точек
— принадлежат вмещающему их про-
странству минимальной размерности
n
= 1 + 2 + 1 = 4;
пересекающиеся
в трехмерном пространстве (n = 3)
— опре-
деляют пространство пересечения размерности
r
= 1 + 2 – 3 = 0
(0-плоскость).
Вывод: если прямая и плоскость не имеют общих точек, то про-
странство наименьшей размерности, содержащее их, является четы-
рехмерным. Если же они имеют только одну общую точку или па-
раллельны, то они уже лежат в трехмерном пространстве.
3.
Две плоскости
(две 2-плоскости,
р
1
=
р
2
= 2):
не имеющие общих точек
— принадлежат вмещающему их
пространству минимальной размерности
n
= 2 + 2 + 1 = 5;
пересекающиеся в трехмерном пространстве (n = 3)
— опре-
деляют пространство пересечения размерности
r
= 2 + 2 – 3 = 1
(1-плоскость);
пересекающиеся в четырехмерном пространстве (n = 4)
—
определяют пространство пересечения размерности
r
= 2 +2 – 4 = 0
(0-плоскость).
Для сравнения определим размерность пространства пересечения
трех (
i
= 3) плоскостей (
р
1
=
р
2
=
р
3
= 2) в трехмерном пространстве
(
n
= 3):
r
= 2 + 2 + 2 – 3 (3 – 1) = 0 (0-плоскость).
4.
Два трехмерных пространства
(две 3-плоскости,
р
1
=
р
2
= 3)
в четырехмерном пространстве
R
4
— пересекаются по плоскости или
вполне параллельны, так как
r
= 3 + 3 – 4 = 2 (2-плоскость).
