Л.С. Соколова
4
Особенностью предлагаемой дисциплины является ее теоретиче-
ский раздел — наглядная многомерная геометрия [8]. Он разработан
на основе изучения и анализа разрозненных опубликованных данных
о многомерной геометрии [6, 9] с учетом целей и новизны подхода к
учебному процессу в современном техническом вузе.
Многомерная геометрия построила общую теорию для 1-, 2-, 3-, …
n
-мерного пространств, что позволяет использовать ее достижения,
оставаясь на уровне
наглядного
восприятия с возможностью обобщения
до уровня абстрактного понимания. Пространство, в котором введены
декартовы координаты (
x
1
, …,
х
n
), называется
n
-мерным декартовым
пространством и обозначается
R
n
. Число
n
называется размерностью
пространства или числом измерений.
В многомерном пространстве принято все подпространства назы-
вать плоскостями с указанием их размерности (
р
), например:
точка
— 0-плоскость с размерностью 0 (
р
= 0);
прямая
— 1-плоскость с размерностью 1 (
р
= 1);
обычная плоскость
— 2-плоскость с размерностью 2 (
р
= 2);
трехмерное пространство
— 3-плоскость с размерностью 3 (
р
= 3);
четырехмерное пространство
— 4-плоскость с размерностью 4 (
р
= 4);
…
(n – 1)-мерное пространство
— гиперплоскость с размерностью
n
– 1
(
p
=
n
– 1).
Размерность является одной из основных характеристик простран-
ства. На прямой (числовой оси) точка определяется заданием одной
координаты, на плоскости — двух, в пространстве — трех, в четырех-
мерном пространстве — четырех координат и т. д. Поэтому, принимая
точку за основной элемент множества (пространства), считают, что
прямая имеет одно измерение, плоскость — два и т. д. При этом каж-
дая
р
-плоскость, где
р < n
, определяется заданием (
р
+ 1) точки и пол-
ностью принадлежит
n
-плоскости (
n
-мерному пространству). Эти
р
-плоскости называются линейными подпространствами многомерно-
го (
n
-мерного) пространства. Если пространства, принадлежащие од-
ному
n
-мерному пространству, имеют общую часть, то говорят о раз-
мерности пространства пересечения (
r
).
Расчет размерности вмещающего (содержащего) пространства (
n
)
и пространства пересечения (
r
) для
i
пространств выполняют по сле-
дующим формулам соответственно:
=1
– 1
i
i
i
n = p + i
; (1)
=1
( –1).
i
i
i
r = p – n i
(2)
Покажем на примере одного из разделов наглядной многомерной
геометрии, а именно «Задание линейных форм многомерной геомет-
