1
УДК 531.38
Новые интегрируемые случаи в задаче
о движении тяжелого твердого тела
в идеальной несжимаемой жидкости
© Ю.Д. Плешаков
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Рассмотрена классическая задача о движении многосвязного твердого тела в иде-
альной несжимаемой жидкости — задача Кирхгофа. Показано, что в том случае,
когда матрица параметров гамильтониана приводится к диагональному виду, то
на элементы диагональных матриц никаких ограничений не накладывается, а
именно: все девять параметров независимы и могут принимать любые значения.
Показано, что с помощью канонических преобразований уравнения сферического
движения в осесимметричном силовом поле приводятся к виду уравнений Кирхго-
фа, описывающих движение многосвязного твердого тела в идеальной несжимае-
мой жидкости. Установлено, что уравнения задачи о сферическом движении
твердого тела в осесимметричном силовом поле интегрируются в квадратурах
при произвольном тензоре инерции, произвольном расположении центра масс и
произвольной квадратичной части потенциала. Классические интегрируемые слу-
чаи Лагранжа, Ковалевской, Горячева — Чаплыгина содержатся в найденном ре-
шении как частный результат.
Ключевые слова:
задача Кирхгофа, осесимметричное силовое поле, интегрируе-
мые случаи.
Рассматривается сферическое движение твердого тела в осесим-
метричном силовом поле, потенциал которого содержит линейную и
квадратичную части. Показано, что с помощью канонических преоб-
разований уравнения сферического движения в осесимметричном
силовом поле приводятся к виду уравнений Кирхгофа, описывающих
движение многосвязного твердого тела в идеальной несжимаемой
жидкости, которые при определенных ограничениях на параметры
уравнения интегрируются в квадратурах.
Уравнения задачи Кирхгофа, описывающие движение многосвяз-
ного твердого тела в несжимаемой жидкости [1–7], имеют вид
;
P P aP P cR P d R Pc R r R bR
(1)
,
R R aP R cR R d
(2)
где
a
,
b
— симметричные матрицы 3
3;
c
— произвольная матрица
3
3;
d̅
,
r̅
— векторы, постоянные в теле.
