Ю.Д. Плешаков
2
Уравнения (1), (2) имеют три первых интеграла
2
2
2 2 const,
const,
const.
H aPP cRP bRR Pd Rr
PR
RR
Для интегрируемости уравнений (1), (2) в квадратурах надо найти
четвертый первый независимый интеграл.
Уравнениям (1), (2) можно придать иную, более компактную и
удобную для вычислений структуру, выполняя линейную обратимую
замену переменных, предложенную Г.В. Колосовым:
.
aP cR d P I IcR Id
Тогда они примут вид
,
I
I
e
R R g R R
(3)
,
R R
(4)
где
т
1
т
;
1 ;
,
;
;
I a
Ic Ic
spIc
b c Ic e Id g r ec j
1
2 ;
spI I
1 — единичная матрица. Символ
123
означает, что
сумма образуется круговой перестановкой индексов (123).
Справедлива
теорема 1
[8]. Если выполняются условия
12 13 12 13 12 13
23
0,
I
I
(5)
1
2
3
,
0,
g
(6)
2 2 3 3
1 1 2 2 23 23
23 2 3
23 2 3
0,
0,
0,
I
I
I
I
I
I I
I
(7)
то существует четвертый первый независимый интеграл
1
2
2
2
2 const,
V X I
YRI
ZR R I e WR
(8)
где элементы матриц
X
,
Y
,
Z
и
W
определяются выражениями
13
12 12 13 12 13
0;
X X Y Y Z Z
(9)
1 2 3
23 1 3 23 1 3
23
23
123
0,
0,
;
X I I
X I I
I X X
X I
(10)
