Ю.Д. Плешаков
4
то матрицы
A
,
,
B
одновременно приводятся к диагональному виду с
помощью одной матрицы ортогональных преобразований, причем
элементы преобразованных диагональных матриц
ˆ
ˆ ˆ, ,
А В
будут свя-
заны только одним соотношением:
3 2 1 3 2 1
1
2
3
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
Г Г Г Г Г Г 0,
ˆ
ˆ
ˆ
А
А
А
(14)
причем при
1 2 3
ˆ ˆ
ˆ
Г Г Г
имеет место соотношение
3 2 1 3 2 1
1
2
3
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
0.
ˆ
ˆ
ˆ
B B B B B B
А
А
А
(15)
Замечание.
Соотношения (14), (15) определяют условия интегри-
руемости уравнений движения в однозначных функциях времени [9].
Напомним, что в переменных
ˆ ˆ ˆ , Г,
А В
классические случаи инте-
грируемости выглядят следующим образом:
случай Клебша характеризуется условиями
1 2 3
1 2 3
123
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ
Г Г Г ,
0;
B J J
случай Ляпунова — Стеклова определяется выражениями
1 2 3
123
2
2
2
1
2 3 1 2
3 1 2 3
1 2 3
ˆ ˆ
ˆ
Г ,
,
1, 2,3 ,
ˆ ˆ ˆ
Г
0,
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
Г Г
Г Г
Г Г .
ij
ij
ij
A
B i j i j
J J
B
J B
J B
J
Следствие 2
. Если
2 3
12 21 13 31
1
23 32
0,
0,
0,
,
I I
c c c c
c
c c
1 2 3
2 2 3
23 23
2
0,
a c c a c c a c
23 2 3
23 2 3
32 23
,
X c c c X X Г Г
2 3
23 23 3 1
,
X с X c Г Г
