Новые интегрируемые случаи в задаче о движении тяжелого твердого тела…
3
1 3
1 3
2 3
2 3
23
23
,
,
;
Y Y
Y Y
Y
(11)
1 3 1 3 3 1
2 3 2 3 3 2
23 23 2 2 23
,
,
;
Z Z Y Y Z Z Y Y Z Y Y
(12)
1
1 1 1
2
1 1 2
3
1 1 3 1
,
,
,
0,
W Y e W Y e W Y e e
(13)
и, следовательно, уравнения движения задачи Кирхгофа интегриру-
ются в квадратурах.
Теорема 1 справедлива, поскольку производная по времени
1
V
,
составленная в силу уравнений движения (3), (4), равна нулю при
выполнении условий теоремы 1, следовательно,
1
const
V
— первый
интеграл уравнения движения.
Имеет место
теорема 2
. Если гамильтониан задачи Кирхгофа
определяет выражение
2
2
2
2 2 const,
H APP ГRP BRR Pq R
где элементы матриц
A
,
,
B
и векторы
q
и
определены соотноше-
ниями
т
, Г
,
2
;
A Xa
Y Xc B Z YIc c IXc
т
т
,
,
q Ae e
W Y c X c I e
а элементы матриц
a
,
c
,
b
,
X
,
Y
,
Z
и вектор
W
отвечают условиям
(5)–(13), то существует четвертый первый независимый интеграл
2
2
2
2 2 const
V aPP cRP bRR Pd Rr
и, следовательно, уравнения движения задачи Кирхгофа интегриру-
ются в квадратурах.
Справедливо
следствие 1.
Если выполнить каноническую замену
переменных
,
P P k R
где компоненты вектора
k
определяют соотношения
23 32
13
12
1
2
2
2 3
1
1
,
,
,
Г Г
Г
Г
k
k
k
А А
А
А
