Расчет малых колебаний упругих систем с трением
5
где
1
cos ,
j
j
j
b A
0
2
( ) ( )
.
l
j
j
j
x f x dx
b
f
Отсюда
2
2 2
2
1
1
2
1
1
.
j
j
j
j j
j
j
A b A
b b n
(6)
Решая трансцендентное уравнение (6), находим амплитуду
A
j
и
фазовый сдвиг
1
arccos .
j
j
j
b
A
Случай 2. Вынужденные колебания упругой системы с сухим
трением.
Этот режим колебаний рассмотрим также на примере продоль-
ных колебаний однородной консольной балки (рис. 1). Учтем внеш-
нее воздействие
0
( )
cos(
)
F t
F pt
. Сосредоточенная сила
F
(
t
) при-
ложена в сечении
x
i
вдоль консоли,
F
0
— ее амплитуда,
p
— частота
изменения силы
F
(
t
). Все допущения остаются прежними. Восполь-
зуемся механическим аналогом системы. Для каждого осциллятора с
номером
i
правая часть уравнения его движения определяется с по-
мощью обобщенной силы [9].
Разложим силы сухого трения в ряд по собственным функциям одно-
родной
краевой
задачи
( ) sin (2 1)
2
i
x
f x
i
l
.
Тогда
G
l
sin 2 1
i
i
x
a
i
l
и
4 .
(2 1)
i
G a
l
i
Коэффициент приведенного вязкого сопротивления
i
находим из
условия равенства за период
2
T
p
вынужденных колебаний работы
сил линейно-вязкого сопротивления и работы сил сухого трения для
каждого номера
i
:
2
2 2
0 0
0
( ) sin (
)
4 ( ) .
T l
l
i i
i i
f x p
pt
dxdt
a f x dx
Отсюда погонный коэффициент вязкости
2 3
64
.
(2 1)
i
i
G
B i
l
Для вычисления приведенного коэффициента вязкого сопротив-
ления
0
i
для механического аналога сравним функцию Рэлея для
