А.А. Пожалостин, Б.Г. Кулешов, А.В. Паншина
4
Воспользуемся энергетическим методом определения величины
эквивалентного вязкого трения
i
для каждого номера
i
. Приравняем
работу сил вязкого трения
A
тр
за период
2
i
i
Т
свободных колеба-
ний работе сил сухого трения (3) для каждого номера
i
:
2
0 0
0
4
( ) ,
i
l T
l
i
i
i i
u dxdt
a A f x dx
t
где
( ) cos(
)
i
i i
i
i
u A f x
t
.
Отсюда коэффициент приведенного линейного сопротивления
4
.
(2 1)
i
i
i
i
a
T i
A
Дифференциальное уравнение для
i
-го осциллятора имеет вид
2
2
0.
i
i i
i i
y n y
y
(4)
Здесь
0
0
2
i
i
i
n
m
,
0
( )
i
i
i
f x
,
( )
i
f x
— норма функции
( )
i
f x
.
Запишем решение уравнения (4)
1
( )
cos(
),
i
n t
i
i
i
i
y t
A e
t
(5)
где
2
2 2
1
i
i
i
n
.
Отметим, что величины
n
i
и
1
i
обратно пропорциональны ам-
плитуде
A
i
. Частота
1
i
зависит от неизвестной постоянной
A
i
.
Выпишем, используя (5), общее решение уравнения (1) с учетом
трения
1
1
( , )
( )
cos(
).
i
n t
i i
i
i
i
y x t
A f x e
t
Используя начальные условия (2) и условия ортогональности
функций
( )
i
f x
, получим
0
2 1
1
( ) ( )
1
,
sin
,
cos
l
i
j
j
j
j
j j
j
j
j
x f x dx
A
A
b b n
f
