Расчет малых колебаний упругих систем с трением
3
Решение
( , )
u x t
должно удовлетворять начальным условиям:
0
( , 0) ( ),
( , )
( ).
t
u
u x
x
x t
x
t
Таким образом, решение дифференциального уравнения (1) име-
ет вид
1
( , )
( ) cos(
).
i i
i
i
i
u x t
A f x
t
(2)
Функции
( )
i
f x
удовлетворяют условиям ортогональности [8, 9]:
0
0
0,
( ) ( )
,
l
i
j
i
i j
f x f x dx
f
i j
Построим для колебаний однородной консольной балки приведен-
ную эквивалентную систему. Основным условием является равенство
частот собственных колебаний консольной балки и ее механического
аналога [10]. Представим механический аналог исходной системы в ви-
де бесконечной системы линейных осцилляторов (рис. 2).
Из равенства частот колебаний системы и механического анало-
га, находим приведенные массу и жесткость последнего [10]:
0
2
0
2
0
0
0
0
( ) ,
( ) .
l
l
i
i
i
i
m f x dx c EF f dx
Система собственных функций
( )
i
f x
,
1, 2,...
i
полна и обладает
свойством ортогональности [9].
Для учета сил сухого трения разложим
(ин)
тр
q
в ряд по функциям
( )
i
f x
:
(ин)
тр
1
( ),
i i
i
G q
a f x
l
получим
4 .
(2 1)
i
G a
i
l
(3)
Рис. 2.
Механический аналог
колебательной системы
