УДК 519.21 + 519.718
Уравнения марковского процесса гибели
в математической теории надежности
c А.В. Калинкин
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
В работе предложены формы записи дифференциальных уравнений Колмогорова
для переходных вероятностей марковского процесса простой гибели, используемого
в математической теории надежности.
Ключевые слова:
вероятностная теория надежности, марковские процессы, про-
цесс гибели, уравнения Колмогорова, производящие функции.
При рассмотрении вероятности надежной работы системы из
i
оди-
наковых единиц оборудования часто полагают, что случайное время
работы одной единицы оборудования имеет показательное распреде-
ление вероятностей и не зависит от состояния других единиц обору-
дования [1, 2] В более общей математической модели работы системы
из
i
единиц, в которой учитывается учитывающей взаимосвязь между
единицами оборудования, можно полагать [1], что показательное рас-
пределение имеет случайное время
τ
i
совместной работы до выхода
из строя одной из имеющихся единиц оборудования,
P
{
τ
i
≤
t
}
= 1
−
e
−
ϕ
i
t
,
где
ϕ
0
= 0
, ϕ
i
>
0
при
i
= 1
,
2
, . . . .
Обозначим
P
ij
(
t
)
— вероятность наличия в момент времени
t
ра-
ботоспособных
j
единиц оборудования, при условии, что в начальный
момент времени
t
= 0
имелось
i
единиц оборудования. В настоящей
работе получены новые типы уравнений для переходных вероятностей
и некоторые их следствия.
Определение марковского процесса гибели.
Рассматриваемой
математической моделью является марковский процесс гибели
ξ
t
,
t
2
[0
,
∞
)
, на множестве состояний
N
=
{
0
,
1
,
2
, . . .
}
;
переходные вероятности
P
ij
(
t
) = P
{
ξ
t
=
j
|
ξ
0
=
i
}
, i, j
2
N,
представимы при
t
→
0+
в виде [3]
P
i,i
−
1
(
t
) =
ϕ
i
t
+
o
(
t
);
P
ii
(
t
) = 1
−
ϕ
i
t
+
o
(
t
)
.
1
