Уравнения марковского процесса гибели в математической теории надежности
Процесс гибели линейного типа и независимость работы еди-
ниц оборудования.
Для процесса гибели линейного типа, когда
(
λ >
0
)
ϕ
i
=
iλ,
оператор обобщенной производной совпадает с обычной производной
D
s
=
λ
d
ds
,
имеем уравнения
∂
F
∂t
=
λz
1
−
∂
2
F
∂z
2
;
∂
F
∂t
=
λ
(1
−
s
)
∂
F
∂s
с начальным условием
F
(0;
z
;
s
) =
e
zs
. Тогда выражения (4) и (5)
получают вид
F
(
t
;
z, s
) =
∞
X
n
=0
(
z/λ
)
n
n
!
e
z/λ
(
s
−
1)
n
e
−
nλt
;
(6)
e
zs
=
∞
X
n
=0
z
n
n
!
e
z
(
s
−
1)
n
.
Суммируя ряд (6), приходим к замкнутому выражению для двойной
производящей функции
F
(
t
;
z, s
) =
e
(
z/λ
)(1+(
s
−
1)
e
−
λt
)
.
Отсюда и из определения
F
(
t
;
z, s
)
получаем (5)
F
i
(
t
;
s
) = (1
−
e
−
λt
+
s e
−
λt
)
i
,
i
2
N.
(7)
Соотношение (7) означает, что
случайные времена работы каждой
из имеющихся
i
единиц оборудования не зависят друг от друга
; такое
свойство независимости имеет место только для процесса линейного
типа.
Для приложений в математической теории надежности [1, 2] пред-
ставляет интерес нахождение аналогичного (7) замкнутого интеграль-
ного представления для производящей функции
F
i
(
t
;
s
)
, как решения
уравнений Колмогорова (1) и (2) для процесса гибели (путем сум-
мирования ряда Фурье (4)), при частных предположениях о функции
ϕ
i
=
ϕ
(
i
)
.
В случае процесса квадратичного типа полагают
ϕ
i
=
i
(
i
−
1)
λ.
5
