А.В. Калинкин
Скачк ´и процесса гибели
Скачки процесса простой гибели
ξ
t
изображены на рисунке. Пусть
при
t
= 0
процесс находится в начальном состоянии
i
. В момент
времени
τ
i
P
{
τ
i
≤
t
}
= 1
−
e
−
ϕ
i
t
.
происходит переход процесса в
состояние
i
−
1
и т. д.
Уравнения Колмогорова в производящих функциях.
Первая
(обратная) система дифференциальных уравнений Колмогорова для
переходных вероятностей в случае процесса гибели имеет вид [3]:
dP
0
j
(
t
)
dt
=
−
ϕ
0
P
0
j
(
t
);
dP
ij
(
t
)
dt
=
ϕ
i
P
i
−
1
,j
(
t
)
−
ϕ
i
P
ij
(
t
)
, i
= 1
,
2
, . . . ,
с начальными условиями
P
ii
(0) = 1
,
P
ij
(0) = 0
при
i
6
=
j
.
Далее используем введенный в работе [4] оператор обобщенной
производной, определенный на аналитических в окрестности нуля
функциях
f
(
s
) =
∞
X
j
=0
a
j
s
j
;
D
s
(
f
) =
∞
X
j
=1
a
j
ϕ
j
s
j
−
1
.
Свертывая систему с помощью производящей функции переход-
ных вероятностей
G
j
(
t
;
z
) =
∞
X
i
=0
z
i
ϕ
1
. . . ϕ
i
P
ij
(
t
)
, j
2
N,
имеем цепочку равенств
∂G
j
∂t
=
∞
X
i
=0
z
i
ϕ
1
. . . ϕ
i
dP
ij
(
t
)
dt
=
∞
X
i
=1
z
i
ϕ
1
. . . ϕ
i
−
1
P
i
−
1
,j
(
t
)
−
−
∞
X
i
=1
z
i
ϕ
1
. . . ϕ
i
−
1
P
ij
(
t
) =
z
∞
X
i
=1
z
i
−
1
ϕ
1
. . . ϕ
i
−
1
P
i
−
1
,j
(
t
)
−
−
z
∞
X
i
=1
z
i
−
1
ϕ
1
. . . ϕ
i
−
1
P
ij
(
t
) =
zG
j
−
zD
z
(
G
j
) =
z
(1
−
D
z
)
G
j
.
2
