А.В. Калинкин
удовлетворяет уравнениям
∂
F
∂t
=
z
(1
−
D
z
)
F
;
(1)
∂
F
∂t
= (1
−
s
)
D
s
(
F
)
(2)
с начальным условием
F
(0;
z, s
) =
e
(
zs
)
.
Функция
e
(
z
)
, определенная равенством [4]
e
(
z
) =
∞
X
i
=0
z
i
ϕ
1
. . . ϕ
i
,
(3)
является собственной функцией оператора обобщенной производ-
ной
D
z
D
z
(
e
(
z
)) =
e
(
z
)
.
Для процесса чистой гибели известны [3] явные выражения для
переходных вероятностей
P
ij
(
t
) =
=
ϕ
i
∙ ∙ ∙
ϕ
j
+1
i
X
n
=
j
e
−
ϕ
n
t
(
ϕ
i
−
ϕ
n
)
∙ ∙ ∙
(
ϕ
n
+1
−
ϕ
n
)(
ϕ
n
−
1
−
ϕ
n
)
∙ ∙ ∙
(
ϕ
j
−
ϕ
n
)
,
j
≤
i,
используя которые, легко получить решение уравнений (1) и (2) в виде
ряда с разделенными переменными
F
(
t
;
z, s
) =
∞
X
n
=0
1
ϕ
1
. . . ϕ
n
e
C
n
(
z
)
C
n
(
s
)
e
−
ϕ
n
t
,
(4)
где
e
C
n
(
z
) =
z
n
+
∞
X
k
=1
z
n
+
k
(
ϕ
n
+1
−
ϕ
n
)
. . .
(
ϕ
n
+
k
−
ϕ
n
)
;
C
n
(
s
) =
s
n
+
n
−
1
X
k
=0
ϕ
k
+1
. . . ϕ
n
(
ϕ
k
−
ϕ
n
)
. . .
(
ϕ
n
−
1
−
ϕ
n
)
s
k
.
Если
ϕ
i
+1
> ϕ
i
,
i
2
N
, и
lim
i
→∞
ϕ
i
=
∞
, то ряд (4) абсолютно сходится
при любых
z
,
|
s
|
<
1
и
t
2
[0
,
∞
)
. При
t
= 0
получаем разложение
обобщенной экспоненты (3)
e
(
zs
) =
∞
X
n
=0
1
ϕ
1
. . . ϕ
n
e
C
n
(
z
)
C
n
(
s
)
.
(5)
4
