Уравнения марковского процесса гибели в математической теории надежности
Таким образом, первая система дифференциальных уравнений по-
лучает вид
∂G
j
(
t
;
z
)
∂t
=
z
(1
−
D
z
)
G
j
(
t
;
z
)
с начальным условием
G
j
(0;
z
) =
z
j
ϕ
1
. . . ϕ
j
.
Вторая (прямая) система дифференциальных уравнений Колмого-
рова для переходных вероятностей в случае процесса гибели имеет
вид [3]:
dP
i
0
(
t
)
dt
=
−
P
i
0
(
t
)
ϕ
0
+
P
i
1
(
t
)
ϕ
1
;
dP
ij
(
t
)
dt
=
−
P
ij
(
t
)
ϕ
j
+
P
i,j
+1
(
t
)
ϕ
j
+1
, j
= 1
,
2
, . . . ,
с начальными условиями
P
ii
(0) = 1
,
P
ij
(0) = 0
при
i
6
=
j
.
Свертывая систему с помощью производящей функции переход-
ных вероятностей
F
i
(
t
;
s
) =
∞
X
j
=0
P
ij
(
t
)
s
j
, i
2
N
;
|
s
| ≤
1
,
имеем цепочку равенств
∂F
i
∂t
=
∞
X
j
=0
dP
ij
(
t
)
dt
s
j
=
−
∞
X
j
=0
P
ij
(
t
)
ϕ
j
s
j
+
∞
X
j
=0
P
i,j
+1
(
t
)
ϕ
j
+1
s
j
=
=
−
s
∞
X
j
=1
P
ij
(
t
)
ϕ
j
s
j
−
1
+
∞
X
j
=1
P
ij
(
t
)
ϕ
j
s
j
−
1
=
=
−
sD
s
(
F
i
) +
D
s
(
F
i
) = (
−
s
+ 1)
D
s
(
F
i
)
.
Вторая система дифференциальных уравнений получает вид
∂F
i
∂t
= (1
−
s
)
D
s
(
F
i
)
с начальным условием
F
i
(0
, s
) =
s
i
.
Соответственно, двойная производящая функция
F
(
t
;
z, s
) =
∞
X
i
=0
z
i
ϕ
1
. . . ϕ
i
F
i
(
t
;
s
) =
=
∞
X
i,j
=0
z
i
ϕ
1
. . . ϕ
i
P
ij
(
t
)
s
j
=
∞
X
j
=0
G
j
(
t
;
z
)
s
j
,
3
