Вероятностная неопределенность в стохастических технических системах …
9
Если спроектировать обе части в
φ
j
и разделить на
2
j
φ
, получим
3
3
2
0
0
3
0
2
3
2
0
1
1
,
j
k i j
i
k
j
k
k j
k j i
k j
k j
k j
x
a
X
=
=
=
=
φ φ φ =
φ
⎛
⎞
⎡
⎤
=
φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ
⎜
⎟
⎣
⎦
⎝
⎠
φ
∑ ∑
∑
где
X
= [
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
]
T
.
Структура может быть легко идентифицирована как
j
-строка мат-
рицы вида
0 0 0 1
0
0 1 1 1
0 1
0
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
k
k
kp
k
k
k
k
kp
kp
pkp
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
Ψ = ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Теперь, поскольку только два ненулевых коэффициента в разло-
жении
( )
а
Δ
, уравнение движения может быть записано так:
(
)
0 0 2 2
0
2 0
2 2
1
2
2
3
X a
a X a a
a X
⎛
⎞
⎛
⎞
= Ψ + Ψ = + Ψ + Ψ
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
.
Таким образом, можно описать динамику линейной стохастиче-
ской системы. Эту процедуру можно повторить для полиномов более
высокого порядка с целью лучшего приближения.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Winer N. The Homogenous chaos.
J. of Mathematics
, 1938, pp. 897–936.
[2] M. Schetzen.
The Volterra and Wiener Theories of Nonlinear Systems
. Mel-
bourne, FL: Krieger Publishing Company, 2006.
[3] Xiu D., Karniadakis G.E. «The winer-askey polynomial chaoc for stochastic
differential equations»,
SIAM J. Sci. Comput.
, 2002, vol. 24, pp. 619–644.
[4] Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко А.С. Функциональные ряды в тео-
рии нелинейных систем. Москва, Наука, 1976.
Статья поступила в редакцию 28.06.2013
Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:
Пупков К.А. Вероятностная неопределенность в стохастических технических
системах управления.
Инженерный журнал: наука и инновации
, 2013, вып. 10.
URL:
