К.А. Пупков
8
Применение идеи ПХ приводит к преобразованию стохастиче-
ской динамической линейной системы с
x
∈
R
n
;
u
∈
R
m
c
p
-м порядком
ПХ приводит к детерминированной линейной системе с более высо-
кой размерностью
n
(
p
+ 1).
Пример.
Рассмотрим систему
( , ) ( ) ( , )
x t
a x t
Δ = Δ Δ
,
где
( )
[
]
2
0 2
,
1,1
a a a
Δ = + Δ Δ ∈ −
, т. е. случайная величина с равномер-
ным распределением и
, 0, 2
i
a i
=
известна.
Поскольку
Δ
—
равномерно распределенная случайная величина,
будем использовать полиномы Лежандра для моделирования каждого
из процессов.
В примере будем использовать полиномы до 3-го порядка. Раз-
ложение
x
здесь
( )
( )
3
0
,
i i
i
x t
a
=
Δ = φ Δ
∑
и разложение для
a
(
Δ
) —
( )
( )
3
0
i i
i
a
a
=
Δ = φ Δ
∑
.
Полиномы Лежандра (первые три):
0
1
2
2
3
3
1,
,
3 1
,
2 2
5 3
.
2 2
φ =
φ = Δ
φ = Δ −
φ = Δ − Δ
Ясно, что по формуле для
a
(
Δ
) разложение будет
( )
0
2 0
2
1
2
3
3
a
a a
a
⎛
⎞
Δ = + φ + φ
⎜
⎟
⎝
⎠
.
Тогда уравнение движения
3
3
3
3 3
0
0
0
0 0
j j
k k
i
k i k i
j
k
i
i
k
x
a
a x
=
=
=
= =
⎛
⎞ ⎛
⎞
φ =
φ
φ =
φ φ
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
∑ ∑ ∑ ∑∑
.
