Вероятностная неопределенность в стохастических технических системах …
5
Здесь однозначное соответствие между
Ψ
i
(
ξ
) и
(
)
1
, ,
n
p i
i
H
ξ … ξ
, а так-
же между коэффициентами
â
i
и
a
i
,…,
n
.
Чтобы представить форму суммирования в уравнении (1) для
X
(
θ
) и соотношение
Ψ
i
с
H
n
в уравнении (2), рассмотрим разложение
для двух случайных переменных:
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 1 1 1)
2 1 2
11 2 1
12 2 2 1
22 2 2 2
111 3 1 1, 1
121 3 2 1 1
211 3 2 21 1
222 3 2 2 2
(
,
,
,
,
, ,
,
, ,
X a H a H a H a H
a H
a H
a H
a H
a H
a H
θ = + ξ + ξ +
ξ ξ +
ξ ξ +
+
ξ ξ +
ξ ξ ξ +
ξ ξ ξ +
ξ ξ ξ +
+
ξ ξ ξ +…
Члены этого разложения связаны с членами в уравнении (2) та-
ким образом:
( )
( )
0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2
Ψ ; Ψ
;
ˆ
Ψˆ
ˆ
a
a H a a H a
a H
=
= ξ
= ξ
и т. д.
Полиномы ОХ формируют ортогональный базис, что означает
среднее
2
Ψ Ψ Ψ ,
i
j
i ij
= δ
где
δ
ij
— функция Кронекера;
• •
— среднее взвешенное произве-
дение.
При этом оператор
2
i
Ψ
в некоторых случаях можно описать
численно:
1
i
i i
xy
x y
∞
=
=
∑
, где
x
= [
x
:],
y
= [
y
i
];
матрично
T
M
xy y x
=
, где М — матрица Эрмита;
в случайной форме
( )
xy E xy
=
и
квадратной матрицей
(
)
T T
,
A B B A
=
.
Для Эрмитова хаоса произведение
〈
•
,
•
〉
на гильбертовом про-
странстве определяется на основе гауссовых переменных
( ) ( )
( ) ( ) ( )
f
g
f
g w d
ξ ξ = ξ ξ ξ ξ
∫
,
