Вероятностная неопределенность в стохастических технических системах …
3
Система полиномов ортогональна по отношению к действитель-
ной положительной мере
γ
(
x
), если
( )
( ) ( )
2
n
m
n nm
D
Q x Q x d x h
γ = δ
∫
.
Для
n
,
m
∈
N
, где
D
— область меры
γ
(
x
) и
h
n
— положительные
константы;
δ
nm
— функция Кронекера, такая, что при
n
≠
m
δ
nm
= 0,
а при
n
=
m
δ
nm
= 1.
Если
h
n
= 1, то ряд ортонормированный.
В общем,
γ
(
x
) может быть непрерывной весовой функцией
w
(
x
) и
тождественной плотности вероятности.
Ортогональные полиномы можно получить путем непрерывного
оператора Родригеса
(
)
1
( ) ( )
( )
n
n
n
n
d
Q
w x x
w x dx
=
α
,
a
n
(
x
) — полином степени
n
.
Здесь мы будем считать, что
w
(
x
) — функция плотности вероятности.
Теперь рассмотрим и определим, что такое однородный хаос (ОХ).
Классификация ОХ впервые введена Н. Винером (1938) и стала
продолжением работы Вольтерра по обобщению ряда Тейлора для
функционалов [1]. ОХ использует ортогональные полиномы Эрмита
для приближения гауссовых случайных переменных. Камерон и
Мартин использовали функционалы Эрмита для создания ортого-
нального базиса нелинейных функционалов и показали, что с помо-
щью функционалов можно аппроксимировать любые функционалы с
конечным вторым моментом в
L
2
и что эти функционалы действи-
тельно сходятся в смысле
L
2
.
Таким образом, можно использовать Эрмит-хаос для описания
любых процессов второго порядка и чтобы этот процесс имел конеч-
ный момент второго порядка в терминах ортогональных полиномов.
Тем не менее большинство физических процессов в действитель-
ности соответствует этому требованию и поэтому оно практически
приемлемо.
Введем понятие ОХ.
Определим множество всех интегрируемых с квадратом случай-
ных переменных
θ
.
Пусть
( )
{
}
1
i
i
∞
=
ξ θ
будет множеством ортогональных гауссовых
случайных переменных и пусть
ˆ
Γ
будет пространством всех мно-
жеств в
ξ ( )}
, меньшим и равным
p
. Кроме того,
Γ
p
будет пред-
