К.А. Пупков
6
где весовая функция
w
(
ξ
) равна
( )
( )
1
2
1
2
T
n
w
− ξ ξ
ξ =
π
Переменная
n
имеет размерность вектора случайной переменной
ξ
.
Весовая функция
w
(
ξ
) эквивалентна функции плотности вероят-
ности для независимых
n
-мерных гауссовых распределений. Таким
образом, базис полиномов Эрмитова хаоса ортогонален относительно
гауссова распределения, и переменные в разложении являются гаус-
совыми случайными переменными.
Таким образом, ОХ (ЭХ) можно использовать в ситуации, когда
стохастическая неопределенность в системе известна как гауссова.
Теперь рассмотрим, каким образом можно построить множество
ортогональных полиномов. Суть состоит в том, что функция веса
w(x)
в реальных случаях не обязательно является нормальной.
Например, это может быть распределение Коши:
( )
2
2
(
)
K
f x
K x
=
⎡
⎤
π + − μ
⎣
⎦
,
где
–
∞
< x <
∞
,
;
K
и
μ
— вещественные константы и
K
> 0.
Кроме того, область определения полиномов Эрмита бесконечна.
На практике часто необходимо генерировать множество ортогональ-
ных полиномов с желаемой областью определения. Это можно сде-
лать несколькими способами, в том числе с помощью процесса
Грамма — Шмидта, который включает в себя множество ортого-
нальных функций
( )
{
}
0
i
i
x
∞
=
φ
из множества линейных независимых
функций
{
0
( )}
i
i
u x
∞
=
с весовой функцией
w
(
x
).
Для начала зададим
( )
0
0
( )
x u x
φ =
.
Следующая функция
φ
i
(
x
) может быть определена из
φ
0
(
x
) путем
вычитания из нее проекции
u
i
(
x
) в
φ
0
(
x
):
( )
( ) ( )
( )
( )
0
1 1
0
2
0
i
u x x
u x
x
x
φ
φ = −
φ
φ
,
где
( ) ( )
( ) ( ) ( )
f x g x
f x g x w x dx
=
∫
.
