К.А. Пупков
2
ла развиваться по пути синтеза робастного управления, т. е. такого
управления, при котором обеспечивается устойчивость и допустимая
точность ее работы, конечно, при известных диапазонах неопределен-
ностей. Предполагалось также, что робастность управления достигается
при граничных значениях неопределенностей и тем самым обеспечива-
ется гарантия желаемого функционирования. Однако робастное управ-
ление, построенное по граничным значениям неопределенности, могло
существенно ухудшать динамические свойства системы, например,
сужать полосу частот пропускания, а следовательно, отрицательно вли-
ять на динамическую точность. Это связано с тем, что на самом деле в
интервале неопределенности некоторое конкретное ее значение являет-
ся значением случайной величины и во многих практических системах
распределение ее не является равномерным. Поэтому возникла и стала
развиваться задача синтеза робастного управления при предположении,
что функция плотности вероятности неопределенности имеет другие
типы, например, гауссова, Коши и др.
Здесь определилась проблема: каким образом при синтезе управ-
ления учесть вероятностный характер неопределенностей.
При этом необходимо решать две задачи:
• устойчивости;
• оптимизации управления.
Конечно, при исследовании устойчивости и точности работы не-
определенных систем управления можно применить метод Монте-
Карло, т. е. метод статистических испытаний. Для этого надо иметь
цифровую модель системы, накопить при моделировании множество
реализаций процессов управления и по ним оценить эффективность
работы системы. Следует заметить, что достаточно объемный способ
оценки — это, по сути, вычислительный эксперимент. Альтернати-
вой ему является аппроксимация стохастических динамических си-
стем функциональными рядами.
Здесь мы рассмотрим аналитический метод исследования устой-
чивости и синтеза робастного управления в неопределенных систе-
мах, где неопределенность — вероятностная с априори известной
функцией распределения.
Для решения этой задачи обратимся к теории полиномиального
стохастического хаоса.
Сначала изучим свойства ортогональных полиномов.
Рассмотрим множество полиномов
{
Q
n
(
x
),
n
∈
N
},
где
Q
n
(
x
) — полином степени
n
и
N
= {0, 1, 2, …}, если ряд бесконе-
чен. Для конечного ряда
N
есть конечные неотрицательные целые
числа.
