О численном решении обратной задачи теплопроводности …
1
УДК 517.956.4
О численном решении
обратной задачи теплопроводности
© А.Ф. Грибов, Е.Н. Жидков, И.К. Краснов
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Исследована обратная задача восстановления коэффициента теплопроводности
параболического уравнения по финальному распределению температуры, служа-
щего математической моделью для задачи определения дефектов конструкций.
Предложен способ решения поставленной задачи, а также рассмотрен численный
пример решения обратной задачи.
Ключевые слова:
обратная задача, тепловизор, параболическое уравнение, раз-
ностная аппроксимация, функционал Тихонова, случайный поиск.
В последнее время большое внимание уделяется задачам нераз-
рушающего контроля конструкций. Одним из вариантов такого кон-
троля является тепловидение: с помощью тепловизора можно опре-
делить положение дефекта в образце [1–9].
Математически эта задача сводится к задаче определения коэф-
фициента при старшей производной. Этим вопросам посвящено
большое количество работ [10–16].
В данной работе рассмотрено численное решение обратной задачи.
Сформулируем математическую постановку задачи.
Пусть имеется неоднородный стержень длиной
l.
На правый ко-
нец стержня подается поток тепла, на левом конце происходит теп-
лообмен с внешней средой по закону Стефана – Больцмана. Зная
начальную и конечную температуры, требуется определить теплофи-
зические характеристики стержня.
Обозначим
( , )
u x t
температуру стержня в момент времени
t
в
точке
x
,
k x
– кусочно-постоянный коэффициент.
Тогда тепловое поле удовлетворяет следующей системе уравнений:
0
4
4
0
,
0, ,
0, ,
, 0
const 0,
0,
(
,
),
,
.
u
u k x
x l t
T
t
x
x
u x u
u t
u x t u
x
u l t
q t
x
(1)
