О численном решении обратной задачи теплопроводности …
3
Введем невязку
2
0
(
) .
n
im i
N u
Требуется найти такой вектор
1 3
1
2 2
2
, , ,
,
T
n
k k
k
k
который ми-
нимизирует невязку
N
. Вследствие некорректности поставленной за-
дачи [17] минимизируем функционал Тихонова:
2
1
1
2
,
n
i
M k N k
k
(3)
где β – положительная постоянная.
Очевидно, что функционал (3) положительно определен, поэтому
у него существует единственный минимум
1
1
2
2
, ,
.
T
n
k k
k
(4)
Если набор
i
известен точно, то в качестве решения обратной
задачи
0
0
0
1
1
0
2
2
lim , ,
.
T
n
k
k k
k
(5)
Если вместо точного значения
i
известны их приближенные
значения
i
, такие что
2 2
0
(
)
,
n
i
i
i
то в качестве решения
обратной задачи берется вектор
k
, для которого
2 2
0
(
)
.
n
im i
N u
В этом случае решение обратной задачи устойчиво [17].
Как пример рассмотрим решение обратной задачи (минимизация
функционала Тихонова) при следующих начальных данных:
8
0
5, 669 10 ,
1,
2,
20,
q t
T u
