А.Ю. Бушуев, В.Н.Тимофеев
4
Согласно [3, 5], вариационный метод решения задачи (5) состоит
в минимизации сглаживающего функционала
,
,
min,
M a u A a u
a
(6)
где
– расстояние в пространстве ;
u
0
– параметр регуляриза-
ции, величина которого согласуется с погрешностью задания правой
части ;
a
– стабилизирующий функционал, позволяющий выде-
лить ограниченное решение.
Параметр регуляризации можно выбрать по невязке. В этом слу-
чае в качестве определяющего уравнения выступает следующее ра-
венство:
,
,
A a u
(7)
где
– погрешность задания правой части (5).
Отметим, что невязка зависит от параметра ,
т. е.
,
A a u
.
Тогда нахождение параметра регуляризации заключается в соот-
ветствии с (7) в решении уравнения
.
(8)
Поставленную задачу можно сформулировать в терминах много-
критериальной оптимизации.
Согласно теореме [7], в которой утверждается, что решение зада-
чи (6) при
0
принадлежит множеству эффективных точек двух-
критериальной задачи,
1
2
,
min,
min
Ф a A a u
Ф a
a
.
(9)
Таким образом, решение задачи (9) позволяет сразу выделить
множество, содержащее все возможные решения (6) для различных
значений
.
Для нахождения единственного решения необходимо
фиксировать
,
выбирая параметр регуляризации по невязке соглас-
но (7). Тогда в новых обозначениях это условие примет вид
1
Ф a
.
(10)
Таким образом, решение поставленной задачи состоит из двух
этапов: построения множества эффективных решений задачи (9) и вы-
бора среди построенного множества решения задачи по формуле (10).
