Т.В. Облакова, Д.А. Приказчиков
2
нансного режима, когда скорость перемещения нагрузки вдоль по-
верхности совпадает со скоростью поверхностной волны Рэлея. В со-
ответствии с формулировкой асимптотической модели [13] решение
на поверхности описывается двумерным гиперболическим уравнени-
ем. Затем решение, затухающее вглубь полупространства, определя-
ется как решение задачи Дирихле для псевдостатического эллиптиче-
ского уравнения. Найденные приближенные решения выражены в
терминах элементарных функций, что существенно упрощает их
дальнейший анализ. Полученные результаты могут найти интересные
приложения, в том числе при моделировании движения трещин [14].
Асимптотическая модель для волны Рэлея в случае упругого
полупространства.
Приведем краткое описание асимптотической
модели для волны Рэлея [13]. Рассмотрим упругую полуплоскость
,
, 0
x
y
z
, в случае нормальной нагрузки
на поверхности
0
0
0
0,
0,
( , , ).
xz z
yz z
zz z
P x y t
(1)
Описываемая приближенная формулировка для волны Рэлея
включает в себя псевдостатические эллиптические уравнения, учи-
тывающие условия затухания,
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
0,
0,
m
m
m
k
k
z
x y
z
x
y
(2)
где
и
,
1, 2
m
m
– упругие потенциалы, постоянные
1
2 2
2
1
R
m
m
c
k
c
,
1
,
c
2
c
и
R
c
– скорости распространения продольной,
поперечной волн и волны Рэлея, соответственно, а также уравнение
мембранного типа на поверхности
z
= 0
2
2
2
2
2
2
2 2 2
1
1
,
2
R
k P
B
x y c t
(3)
где
– сдвиговой модуль Ламэ;
2
2
4
1
2
2
1
2
2
`1
1
1
1
k
k
B
k
k
k
k
k
–
упругая постоянная [11] и соотношения связи между потенциалами
при
z
= 0
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
,
,
.
2
1
1
k
z
x
z
y
z
x y
k
k
(4)
