А.В. Плюснин
4
выхода ЛА из ПУ, однако на практике стараются таких ситуаций не
допускать.
В рамках сделанного предположения будем считать, что задача
динамики ГП, являющаяся намного более трудной, каким-либо обра-
зом решена, например, используя соответствующие эксперименталь-
ные данные или простые численно-аналитические оценки. Итак, счи-
таем, что известен закон движения границ ГП во времени и давление
среды внутри ГП. Располагая этими данными, в области жидкости
между крышкой ПУ, поверхностью ЛА и ГП (с учетом зеркального
отображения) требуется решить для ряда моментов времени уравне-
ние Лапласа относительно потенциала скорости
с соответствую-
щими граничными условиями.
Для вычисления давлений и сил, действующих на крышку со сто-
роны жидкости, необходимо знать лишь распределения
t
и
v
на ее
поверхности. Поскольку для решения уравнения Лапласа известны
представления в виде граничных интегральных уравнений [9], то
подходящим методом для решения задачи является МГЭ [2–4]. Част-
ная производная потенциала по времени
t
есть гармоническая
функция. В данной работе для нахождения
t
ставится отдельная
краевая задача. Дискретизация этой задачи по методу МГЭ приводит
к СЛАУ с той же матрицей (и другой правой частью).
Вывод граничного интегрального уравнения (ГИУ).
Охватим
поверхности ЛА
( )
ЛА
, ГП
( )
ГП
, крышки
( )
кр
и их отражения
( )
ЛА
,
( )
ГП
и
( )
кр
воображаемой сферой
R
радиуса
R
с центром в нача-
ле координат (рис. 2). На крышке ПУ зафиксируем регулярную точку
поверхности
,
,
M M M
M x y z
и окружим ее воображаемым шаром
достаточно малого радиуса
. Пусть
– часть поверхности шара,
находящаяся в жидкости и
( )
( )
кр
кр
\
. Введем в рассмотрение
также подвижную точку
, ,
P x y z
и обозначим расстояние между
точками
M
и
P
через
2
2
2
MP
M
M
M
r
x x
y y
z z
.
В области
;
R
, ограниченной поверхностями
( )
( )
ЛА ЛА ЛА
,
( )
( )
ГП ГП ГП
,
( )
( )
кр кр
кр
,
,
R
функции
,
t
и
1
MP
r
являются гармоническими. Применяя формулу Гаусса – Остроград-
ского, выведем вторую формулу Грина для этих функций [9]:
