Неустойчивость Кельвина–Гельмгольца в сдвиговых течениях жидкости и плазмы
3
Для нечетных мод
ϕ
(
x
) — нечетная функция. Используем усло-
вия нечетности в виде
ϕ
= 0 и
d
ϕ
/
dx
= 1 при
x
= 0. Проанализируем
решения для нескольких вариантов граничных условий, перечислен-
ных ниже.
Граничные условия первого рода:
ϕ
= 0 (
0
x
=
v
) при
x
=
±
H
, где
H
— половина ширины локализации моды. В частности, для жидко-
сти это условие можно рассматривать как наличие стенок, причем
требовать на стенке
d
ϕ
/
dx
= 0 (
0)
y
=
v
не обязательно.
Граничные условия второго рода:
d
ϕ
/
dx
= 0 (
0
y
=
v
) при
x
=
±
H
.
Эти граничные условия не могут быть наложены при наличии твер-
дых стенок, так как поперечная скорость на стенке должна быть ну-
левой, и колебания должны иметь возможность существовать в обла-
сти |
x
| >
H
.
Граничные условия смешанного типа:
ϕ
= 0 (
0
x
=
v
) и
d
ϕ
/
dx
= 0
(
0)
y
=
v
при
x
=
±
H
. Такие граничные условия являются избыточны-
ми. В общем случае они вряд ли могут выполняться. Однако их не-
трудно выполнить при
H
→ ∞
. Поэтому соответствующие моды мо-
гут развиваться в неограниченном по
x
потоке.
Для представления результатов расчетов в безразмерном виде
выбраны следующие масштабы величин: скорости
V
0
, длины
L
, ча-
стоты и инкремента
ω
0
=
V
0
/
L
. Принимая во внимание симметрию за-
дачи, нетрудно видеть, что в выбранной системе отсчета фазовая
скорость волны равна нулю, и, следовательно, Re(
ω
) = 0. Таким обра-
зом, собственные числа задачи являются чисто мнимыми:
ω
=
i
γ
, где
γ
= Im(
ω
) — инкремент моды. Кроме того, в рассматриваемом случае
собственные функции нечетные.
Для численного решения был использован алгоритм «стрельбы»
на основе метода Рунге — Кутты. В результате расчетов были опре-
делены собственные числа, собственные функции и границы устой-
чивости.
Для неустойчивости с неограниченными модами на рис. 2 пред-
ставлена зависимость безразмерного инкремента
γ
/
ω
0
от безразмер-
ного волнового числа
kL
. При
kL
< 0,1 она является почти линейной
(
γ
/
ω
0
≈
0,5
kL
). Инкремент достигает максимального значения
γ
≈
≈
0,1
ω
0
при
kL
≈
0,25, а область неустойчивости ограничена макси-
мальным волновым числом
kL
≈
0,4.
Пример собственной функции
ϕ
(
x
) дан на рис. 3, где также при-
ведена ее производная
d
ϕ
/
dx
. На рис. 4 показана вихревая структура
течения в области точки перегиба, формирующаяся при развитии
одной моды неустойчивости. Функция тока
ψ
Σ
(
x
,
y
) на рис. 4 включа-
ет функцию тока, которая соответствует невозмущенному течению,
заданному профилем скорости (2), и возмущенную функцию тока
ψ
(
x
,
y
).
